Numărul 90 ^ 9 are 1900 divizori integrativi pozitivi diferiți. Câte dintre acestea sunt pătrate de întregi?

Răspuns:

Wow - răspund la întrebarea mea.

Explicaţie:

Se pare că abordarea este o combinație de combinatorică și teoria numerelor. Începem prin factoring #90^9# în principalii săi factori:

#90^9=(5*3*3*2)^9#

#=(5*3^2*2)^9#

#=5^9*3^18*2^9#

Trucul aici este să dai seama cum să găsești pătrate de întregi, ceea ce este relativ simplu. Pătrunderile de întregi pot fi generate în mai multe moduri de această factorizare:

#5^9*3^18*2^9#

Putem vedea asta #5^0#, de exemplu, este un pătrat al unui întreg și al unui divizor al lui #90^9#; de asemenea, #5^2#, #5^4#,#5^6#, și #5^8# toate îndeplinesc și aceste condiții. Prin urmare, avem 5 moduri posibile de a configura un divizor al lui #90^9# că este un pătrat de un număr întreg, folosind doar 5s.

Același raționament se aplică #3^18# și #2^9#. Fiecare putere egală a acestor factori primari - 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 (10 total) pentru 3 și 0, 2, 4, 6, este o piață perfectă, care este un divizor al #90^9#. În plus, orice combinație din acești primi divizori care au chiar puteri satisface și condițiile. De exemplu, #(2^2*5^2)^2# este un pătrat al unui întreg, așa cum este #(3^8*2^4)^2#; și ambele fiind formate din divizori ai lui #90^9#, sunt, de asemenea, divizori ai #90^9#.

Astfel, numărul dorit de pătrate de numere întregi care sunt divizori ai lui #90^9# este dat de #5*10*5#, care reprezintă înmulțirea alegerilor posibile pentru fiecare factor prim (5 pentru 5, 10 pentru 3 și 5 pentru 2). Acest lucru este egal cu #250#, care este răspunsul corect.