Două colțuri ale unui triunghi isoscel sunt la (7, 5) și (3, 6). Dacă suprafața triunghiului este de 6, care sunt lungimile laturilor triunghiului?

Răspuns:

Există câteva moduri de a face acest lucru; calea cu cele mai puține pași este explicată mai jos.

Întrebarea este ambiguă despre care două părți au aceeași lungime. În această explicație, vom presupune că cele două laturi cu o lungime egală sunt cele care urmează să fie găsite.

Explicaţie:

O lungime a unei părți ne putem da seama doar de coordonatele care ni s-au dat.

# A = sqrt ((7-3) ^ 2 + (5-6) ^ 2) #

# A = sqrt (4 ^ 2 + (- 1) ^ 2) #

# A = sqrt (16 + 1) #

# A = sqrt17 #

Apoi putem folosi formula pentru zona unui triunghi din punct de vedere al lungimilor laterale pentru a ne da seama # B # și # C #.

# A = sqrt (s (s-a) (s-b) (s-c)) #

Unde # s = (a + b + c) / 2 # (numit semiperimetrul)

De cand # A = sqrt (17) # este cunoscut și presupunem # b = c #, noi avem

# s = (sqrt17 + b + b) / 2 #

#color (roșu) (s = sqrt17 / 2 + b) #

Înlocuindu-l în formula de suprafață de mai sus, precum și # A = 6 # și # A = sqrt17 #, primim

# 6 = sqrt ((culoare (roșu) (sqrt (17) / 2 + b)) (culoare (roșu) (sqrt (17) / 2 + b) -sqrt17) (culoare (roșu) (sqrt (17) / 2 + b) -b) (culoare (roșu) (sqrt (17) / 2 + b) -b)) #

# 6 = sqrt ((sqrt (17) / 2 + b) (- sqrt (17) / 2 + b) (sqrt (17) / 2) (sqrt (17) / 2)) #

# 6 = (sqrt (17) / 2) sqrt ((b + sqrt (17) / 2) (b-sqrt (17) / 2)) #

# 12 / sqrt17 = sqrt (b ^ 2- (sqrt17 / 2) ^ 2) #

# 144/17 = b ^ 2-17 / 4 #

# 144/17 + 17/4 = b ^ 2 #

# 576/68 + 289/68 = b ^ 2 #

# 865/68 = b ^ 2 #

# b = sqrt (865/68) = c #

Soluția noastră este # a = sqrt (17), b = c = sqrt (865/68) #.

Nota de subsol 1:

Este posibil să aveți un triunghi cu două laturi de lungime #sqrt (17) # și zona # A = 6 # (adică să aibă # A = b = sqrt (17) # in loc de # b = c #). Aceasta va duce la o soluție diferită.

Nota de subsol 2:

De asemenea, am fi putut rezolva această problemă găsind coordonatele punctului 3. Acest lucru ar fi implicat:

a) găsirea lungimii laturii cunoscute #A#

b) găsirea pantei # M # între cele două puncte date

c) găsirea mijlocului # (X_1, y_1) # între cele două puncte date

d) găsirea "înălțimii" # H # din acest triunghi folosind # A = 1/2 ah #

e) găsirea pantei înălțimii folosind #m_h = (- 1) / m #

f) folosindu-se ambele formula de punct # M_h = (y_2-y_1) / (x_2-x_1) # și formula de înălțime # h = sqrt ((y_2-y_1) ^ 2 + (x_2-x_1) ^ 2) # pentru a rezolva una dintre coordonatele punctului 3 # (X_2, y_2) #

g) după combinarea acestor două ecuații, simplificând randamentele

# X_2 = h / (sqrt (m_h ^ 2 + 1)) + x_1 #

h) conectarea la valorile cunoscute pentru # H #, # # M_h, și # # X_1 a obține # # X_2

i) folosind una dintre cele două ecuații din (f) pentru a găsi # # Y_2

j) utilizând formula de distanță pentru a găsi lungimile laterale (identice) rămase

# b = c = sqrt ((x_2-3) ^ 2 + (y_2-6) ^ 2) = sqrt ((x_2-7) ^ 2 + (y_2-5) ^ 2) #

Puteți vedea de ce prima metodă este mai ușoară.