(1 + a + b) ^ 2 = 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) Să facem asta ???

Răspuns:

# a = 1, b = 1 #

Explicaţie:

Rezolvarea modului tradițional

# (1 + a + b) ^ 2 - 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) = 0 rArr 1 -

Acum rezolvând pentru #A#

# a = 1/2 (1 + b pm sqrt 3 sqrt 2b - b ^ 2-1) # dar #A# trebuie să fie real, astfel încât condiția este

# 2 b - b ^ 2-1 ge 0 # sau # b ^ 2-2b + 1 le 0 rArr b = 1 #

acum înlocuind și rezolvând pentru #A#

# 1 - 2 a + a ^ 2 = 0 rArr a = 1 # și soluția este

# a = 1, b = 1 #

Un alt mod de a face același lucru

# (1 + a + b) ^ 2 - 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) = 0 rArr 1 -

dar

(A-1) ^ 2 + (b-1) ^ 2- (a-1) (b-1)

și încheierea

(a-1) ^ 2 + (b-1) ^ 2- (a-1) (b-1) = 0 rArr a = 1,

Răspuns:

D. Există exact o pereche de soluții # (a, b) = (1, 1) #

Explicaţie:

Dat:

# (1 + a + b) ^ 2 = 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) #

Rețineți că putem face acest lucru într-o problemă omogenă, simetrică, prin generalizarea:

# (a + b + c) ^ 2 = 3 (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2)

apoi setați # c = 1 # la sfarsit.

Extinderea ambelor părți ale acestei probleme generalizate, avem:

# a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2bc + 2ca = 3a ^ 2 + 3b ^ 2 + 3c ^ 2 #

Prin scăderea părții din stânga din ambele părți, obținem:

# 0 = 2a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2c ^ 2-2ab-2bc-2ca #

#color (alb) (0) = a ^ 2-2ab + b ^ 2 + b ^ 2-2bc + c ^ 2 + c ^

#color (alb) (0) = (a-b) ^ 2 + (b-c) ^ 2 +

Pentru valorile reale ale #A#, # B # și # C #, acest lucru se poate ține doar dacă toate # (A-b) #, # (B-c) # și # (C-a) # sunt zero și prin urmare:

# a = b = c #

Apoi, punerea # c = 1 # găsim singura soluție la problema inițială, și anume # (a, b) = (1, 1) #