Fie f (x) = (x + 2) / (x + 3). Identificați ecuația (liniile) liniilor tangente care trec printr-un punct (0,6)? Schițați soluția?

Răspuns:

Sunt tangente # 25x-9Y + 54 = 0 # și # Y = x + 6 #

Explicaţie:

Fie panta tangentei # M #. Ecuația tangentei este atunci # Y-6 = mx # sau # Y = mx + 6 #

Acum, să vedem punctul de intersecție al acestei curbe tangente și date # Y = (x + 2) / (x + 3) #. Pentru această punere # Y = mx + 6 # în acest lucru ajungem

# Mx + 6 = (x + 2) / (x + 3) # sau # (Mx + 6) (x + 3) = x + 2 #

adică # Mx ^ 2 + 3mx + 6x + 18 = x + 2 #

sau # Mx ^ 2 + (3m + 5) x + 16 = 0 #

Acest lucru ar trebui să ofere două valori #X# adică două puncte de intersecție, dar tangenta taie curba doar într-un singur punct. Prin urmare, dacă # Y = mx + 6 # este o tangentă, ar trebui să avem doar o rădăcină pentru ecuația patratică, care este posibilă dacă este discriminatorie #0# adică

# (3m + 5) ^ 2-4 * m * 16 = 0 #

sau # 9m ^ 2 + 30m + 25-64m = 0 #

sau # 9m ^ 2-34m + 25 = 0 #

adică # M = (34 + -sqrt (34 ^ 2-900)) / 18 #

= # (34 + -sqrt256) / 18 = (34 + -16) / 18 #

adică #25/9# sau #1#

și, prin urmare, sunt tangente # Y = 25 / 9x + 6 # adică # 25x-9Y + 54 = 0 #

și # Y = x + 6 #

gramatică {(25x-9y + 54) (x-y + 6) (y- (x + 2) / (x + 3)) = 0 -12,58, 7,42, -3,16, 6,84}