Aratati ca traseul urmarit de punctul de intersectie a trei planuri perpendiculare reciproce perpendiculare pe axa elipsoida ^ 2 + prin ^ 2 + cz ^ 2 = 1 este o sfera cu acelasi centru ca si cea a elipsoidului.

Răspuns:

Vezi mai jos.

apel # E-> f (x, y, z) = ax ^ 2 + prin ^ 2 + cz ^ 2-1 = 0 #

Dacă #p_i = (x_i, y_i, z_i) în E # atunci

# Ax_ix + by_iy + cz_iz = 1 # este un plan tangent la # E # deoarece are un punct comun și #vec n_i = (ax_i, by_i, cz_i) # este normal să # E #

Lăsa # Pi-> alfa x + beta y + gamma z = delta # să fie un plan general tangent # E # atunci

# {(x_i = alfa / (a delta)), (y_i = beta / (bdelta)), (z_i = gamma / (c delta)

dar

# Ax_i ^ 2 + by_i ^ 2 + cz_i ^ 2 = 1 # asa de

# Alfa ^ 2 / a + beta ^ 2 / b + gamma ^ 2 / c = delta ^ 2 # și ecuația generică a planului tangent este

#alpha x + beta y + gamma z = pmsqrt (alfa ^ 2 / a + beta ^ 2 / b + gamma ^ 2 / c)

Acum, au fost date trei avioane ortogonale

# Pi_i-> alpha_i x + beta_i y + gamma_i z = delta_i #

și chemarea #vec v_i = (alpha_i, beta_i, gamma_i) # și a face

#V = (vec v_1), (vec v_2), (vec v_3)) # putem alege

#V cdot V ^ T = I_3 #

și ca o consecință

# V ^ Tcdot V = I3 #

apoi am și noi

(sum_i alpha_i ^ 2 = 1), (sum_i beta_i ^ 2 = 1), (sum_i gamma_i ^ 2 = 1) (sum_i alpha_i beta_i = 0) 0):} #

Acum adăugând #sum_i (alpha_i x + beta_iy + gamma_iz) ^ 2 # noi avem

(alpha_i beta_i) + xzsum (alpha_i gamma_i) + sumă (beta_i gamma_i)) = sum_i delta_i ^ 2 # 2 ^

și, în sfârșit

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = suma_i delta_i ^ 2 #

dar #sum_i delta_i ^ 2 = suma_ialpha_i ^ 2 / a + suma_ibeta_i ^ 2 / b + suma_igamma_i ^ 2 / c = 1 / a + 1 / b +

asa de

# X ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 / a + 1 / b + 1 / c #

care este calea urmărită de punctul de intersecție a trei planuri tangente reciproce perpendiculare la elipsoid.

Atașat un complot pentru elipsoid

# X ^ 2 + 2y ^ 2 + 3z ^ 2 = 1 #