Aceasta este o dovadă trigonometrică a unui caz generalizat, întrebarea este în caseta de detalii?

Răspuns:

Dovada prin inducție este mai jos.

Explicaţie:

Să dovedim această identitate prin inducție.

A. Pentru # N = 1 # trebuie să verificăm asta

# 2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) + 1) = 2cos (theta) -1 #

Într-adevăr, folosind identitatea #cos (2teta) = 2cos ^ 2 (teta) -1 #, vedem asta

# 2cos (2theta) +1 = 2 (2cos ^ 2 (theta) -1) +1 = 4cos ^ 2 (theta) -1 = #

# = (2cos (teta) -1) * (2cos (theta) +1) #

din care rezultă că

# 2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) + 1) = 2cos (theta) -1 #

Prin urmare # N = 1 # identitatea noastră este adevărată.

B. Să presupunem că identitatea este adevărată # N #

Deci, presupunem asta

# 2cos (2 ^ ntheta) +1) / (2cos (theta) +1) = Pi_ (j în 0, n-1

(simbol # # Pi este utilizat pentru produs)

C. Folosind ipoteza B de mai sus, să dovedim identitatea # N + 1 #

Trebuie să dovedim că din ipoteza B urmează

# 2cos (2 ^ (n + 1) theta) + 1) / (2cos (theta) +1) = Pi j in 0, n

(observați că limita corectă pentru un indice de multiplicare este # N # acum).

PROOF

Folosind o identitate #cos (2x) = 2cos ^ 2 (x) -1 # pentru # X = 2 ^ ntheta #, # 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 = 2cos (2 * (2 ^ n * theta)) +

# = 2 2cos ^ 2 (2 ^ nteta) -1 +1 = #

# = 4cos ^ 2 (2 ^ nteta) -1 = #

# = 2cc (2 ^ nteta) -1 * 2cos (2 ^ nteta) +1 #

Împărțiți expresiile începând și terminând cu # 2cos (theta) +1 #, obtinerea

# 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ nteta) -1 * 2cos (2nteta) +1 / 2cos (teta)

Acum folosim ipoteza B obținând

# 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# 2 2c (2 ^ nteta) -1 * Pi (j în 0, n-1

# = Pi _ (j în 0, n) 2cos (2 ^ j) 1

(observați că intervalul unui index este acum extins la # N #).

Ultima formulă este exact aceeași pentru # N + 1 # ca original este pentru # N #. Aceasta completează dovada prin inducție, conform căreia formula noastră este adevărată pentru orice # N #.

Răspuns:

Consultați secțiunea "Dovada în explicație" de mai jos.

Explicaţie:

Acest lucru este echivalent pentru a dovedi că, # (2cosx + 1) (2cosx-1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1)

(2cosx + 1) (2cosx-1)} (2cos2x-1) (2cos4x-1) …

# = {4cos ^ 2x-1} (-2cos2x 1) (1-2cos4x) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = {4 ((1 + cos2x) / 2) -1} (-2cos2x 1) (-2cos4x 1) …. (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos2x + 1) (-2cos2x 1) (1-2cos4x) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (4cos ^ 2 (2x) -1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos (2 * 2x) +1) (1-2cos4x) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos4x + 1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos8x + 1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# # Vdots

# = {2cos (2 * 2 ^ (n-1) x) +1)} #

# = (2cos2 ^ nx + 1) #

# = "R.H.S." #

Bucurați-vă de matematică!