Care sunt numerele complexe?

Numere complexe sunt numere ale formularului # A + bi # Unde #A# și # B # sunt numere reale și # I # este definit ca # I = sqrt (-1) #.

(Cele de mai sus reprezintă o definiție de bază a numerelor complexe. Citiți mai multe despre ele.)

La fel ca modul în care numim setul de numere reale ca # RR #, numim setul de numere complexe ca # CC #. Rețineți că toate numerele reale sunt și numere complexe, ca orice număr real #X# pot fi scrise ca # X + 0i #.

Având un număr complex # Z = a + bi #, spunem asta #A# este adevărată parte din numărul complex (denotat # "Re" (z) #) și # B # este imaginar din numărul complex (denotat # "Im" (z) #).

Efectuarea operațiunilor cu numere complexe este similară cu efectuarea operațiilor pe binomială. Având în vedere două numere complexe # z_1 = a_1 + b_1i # și # z_2 = a_2 + b_2i #

# z_1 + z_2 = a_1 + b_1i + a_2 + b_2i = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)

# z_1-z_2 = a_1 + b_1i- (a_2 + b_2i) = (a_1-a_2) + (b_1-b_2)

# z_1xxz_2 = (a_1 + b_1i) (a_2 + b_2i) #

# = A_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i + b_1b_2i ^ 2 #

# = A_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i-b_1b_2 # (tine minte # I = sqrt (-1) #)

# = (A_1a_2-b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1) i #

# z_1-: z_2 = (a_1 + b_1i) / (a_2 + b_2i) #

# = ((A_1 + b_1i) (a_2-b_2i)) / ((a_2 + b_2i) (a_2-b_2i)) #

# = ((A_1a_2 + b_1b_2) + (a_2b_1-a_1b_2) i) / (a_2 ^ 2 + B_2 ^ 2) #

= (a_1a_2 + b_1b_2) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) + (a_2b_1-a_1b_2) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2)

Pentru divizare, am folosit faptul că # (A + bi) (a-bi) = a ^ 2 + b ^ 2 #. Având un număr complex # Z = a + bi # noi sunam # O-bi # conjugare complexa de # Z # și o denotă #bar (z) # Este o proprietate utilă (după cum se vede mai sus) #zbar (z) # este întotdeauna un număr real.

Numerele complexe au numeroase aplicații și atribute utile, dar una care se întâlnește adesea devreme este utilizarea lor în polinomi de factoring. Dacă ne limităm doar la numere reale, un polinom cum ar fi # X ^ 2 + 1 # nu pot fi luate în considerare în continuare, totuși dacă permitem numere complexe, atunci avem # X ^ 2 + 1 = (x + i) (x-i) #.

De fapt, dacă permitem numere complexe, atunci orice polinom unic variabil de grad # N # poate fi scris ca produs al # N # factori liniari (eventual cu unii fiind aceiași). Acest rezultat este cunoscut sub numele de teorema fundamentală a algebrei, și, după cum indică numele, este foarte important pentru algebră și are o aplicație largă.