Z este un număr complex. Arată că ecuația z ^ 4 + z + 2 = 0 nu poate avea o rădăcină z astfel încât z <1?

# z ^ 4 + z + 2 = 0 #

# z ^ 4 + z = -2 #

#abs (z ^ 4 + z) = abs (- 2) = 2 #

#abs (z ^ 4 + z) = absz abs (z ^ 3 + 1) #

Dacă #absz <1 #, atunci # absz ^ 3 <1 #, Și #abs (z ^ 3 + 1) <abs (z ^ 3) + abs1 <1 + 1 = 2 #

În cele din urmă Dacă #absz <1 #, atunci

#abs (z ^ 4 + z) = absz abs (z ^ 3 + 1) <1 * 2 <2 # așa că nu putem avea

# z ^ 4 + z = -2 #

#abs (z ^ 4 + z) = abs (- 2) = 2 # așa cum este necesar pentru o soluție.

(Pot exista dovezi mai elegante, dar acest lucru funcționează.)