Cum rezolvați inegalitatea 1 / (x + 1)> 3 / (x-2)?

Răspuns:

# x <- 5/2 culoare (alb) (xx) # sau #color (alb) (xx) -1 <x <2 #

Explicaţie:

Mai întâi, rețineți că inegalitatea dvs. este definită numai dacă numitorii dvs. nu sunt egali cu zero:

# x + 1! = 0 <=> x! = -1 #

# x - 2! = 0 <=> x! = 2 #

Acum, următorul pas ar fi să "scapi" de fracții. Acest lucru se poate face dacă se multiplică ambele părți ale inegalității # x + 1 # și # x-2 #.

Cu toate acestea, trebuie să fii atent, deoarece dacă multiplici o inegalitate cu un număr negativ, trebuie să flip semnul inegalității.

=========================================

Să luăm în considerare diferitele cazuri:

cazul 1: #color (alb) (xxx) x> 2 #:

Ambii # x + 1> 0 # și # x - 2> 0 # dețin. Astfel, veți obține:

# x - 2> 3 (x + 1) #

# x - 2> 3x + 3 #

… calculați # # -3x și #+2# de ambele părți…

# -2x> 5 #

… împarte la #-2# de ambele părți. La fel de #-2# este un număr negativ, trebuie să flip semnul inegalității …

# x <- 5/2 #

Cu toate acestea, nu există #X# care satisface atât condiția #x> 2 # și # x <- 5/2 #. Astfel, nu există o soluție în acest caz.

=========================================

cazul 2: #color (alb) (xxx) -1 <x <2 #:

Aici, # x + 1> 0 # dar # x - 2 <0 #. Astfel, trebuie să faceți o dată semnul inegalității și să obțineți:

#color (alb) (i) x - 2 <3 (x + 1) #

#color (alb) (x) -2x <5 #

… împarte la #-2# și trageți semnul inegalității din nou …

#color (alb) (xxx) x> -5 / 2 #

Inechitatea #x> -5 / 2 # este adevărat pentru toți #X# în intervalul respectiv # -1 <x <2 #. Astfel, în acest caz, avem soluția # -1 <x <2 #.

=========================================

cazul 3: #color (alb) (xxx) x <-1 #:

Aici, ambii numitori sunt negativi. Astfel, dacă înmulțiți inegalitatea cu amândouă, trebuie să îndoiți semnul inegalității de două ori și veți obține:

# x - 2> 3x + 3 #

#color (alb) (i) -2x> 5 #

#color (alb) (xxi) x <- 5/2 #

Ca și condiția # x <-5 / 2 # este mai restrictivă decât condiția #x <-1 #, soluția pentru acest caz este # x <- 5/2 #.

=========================================

În total, soluția este

# x <- 5/2 culoare (alb) (xx) # sau #color (alb) (xx) -1 <x <2 #

sau, dacă preferați o altă notație,

#x în (- oo, -5/2) uu (-1, 2) #.

Răspuns:

# - oo, -5 / 2 uu -1, 2 #

Explicaţie:

# 1 / (x + 1)> 3 / (x-2) #

permiteți trecerea din stânga a inegalității prin scăderea # 3 / (x-2) #:

# 1 / (x + 1) -3 / (x-2)> 0 #

Acum trebuie să punem toată inequation-ul la același numitor. Partea cu (x + 1) înmulțim cu / (X-2) # # (x-2) (care este 1!) și invers:

# (X-2) / ((x + 1) (x-2)) - (3 (x + 1)) / ((x + 1) (x-2))> 0 #

Am facut trucul inainte, sa avem toata inechivatia cu acelasi numitor:

# (- 2x-5) / ((x + 1) (x-2))> 0 #.

# (X + 1) (x-2) # corespunde unei parabole care dă valori pozitive în inerval # -oo, -1 uu 2, + oo # și valori negative în intervalul respectiv #-1, 2#. Rețineți că x nu poate fi -1 sau 2 din cauza da numitor zero.

În primul caz (numitor pozitiv) putem simplifica inequation-ul în:

# -2x-5> 0 # și # x în -oo, -1 uu 2, + oo #

care dă:

#X <-5/2 # și # x în -oo, -1 uu 2, + oo #.

Interceptarea intervalelor de mai sus oferă #X <-5/2 #.

În cel de-al doilea caz, numitorul este negativ, deci pentru rezultatul care dă un număr pozitiv, numărul trebuie să fie negativ:

# -2x-5 <0 # și # x în -1, 2 #

care dă

#X> -5/2 #. și # x în -1, 2 #

Interceptarea intervalelor dă # x în -1, 2 #

Împreună cu soluțiile celor două cazuri obținem:

# - oo, -5 / 2 uu -1, 2 #