Cum rezolvați inegalitatea polinomului și specificați răspunsul în notația intervalului dat x ^ 6 + x ^ 3> = 6?

Răspuns:

Inegalitatea este de tip Quadratic.

Explicaţie:

Pasul 1: Avem nevoie de zero de o parte.

# x ^ 6 + x ^ 3 - 6 ge 0 #

Pasul 2: Întrucât partea stângă constă dintr-un termen constant, un termen mediu și un termen al cărui exponent este exact dublu față de termenul mediu, această ecuație este "în formă". Fie o facem ca un patrat, fie folosim Formula Patru. În acest caz, suntem capabili să factorizăm.

Doar noi # y ^ 2 + y - 6 = (y + 3) (y - 2) #, acum avem

# x ^ 6 + x ^ 3 - 6 = (x ^ 3 + 3) (x ^ 3 - 2) #.

Noi tratăm # X ^ 3 # ca și cum ar fi o variabilă simplă, y.

Dacă este mai util, puteți înlocui #y = x ^ 3 #, apoi rezolva pentru y, și în cele din urmă înlocui înapoi în x.

Pasul 3: Setați fiecare factor egal cu zero separat și rezolvați ecuația # x ^ 6 + x ^ 3 - 6 = 0 #. Aflăm unde partea stângă este egală cu zero, deoarece aceste valori vor fi limitele inegalității noastre.

# x ^ 3 + 3 = 0 #

# x ^ 3 = -3 #

# x = -root (3) 3 #

# x ^ 3 -2 = 0 #

# x ^ 3 = -2 #

# x = rădăcină (3) 2 #

Acestea sunt cele două rădăcini reale ale ecuației.

Se separă linia reală în trei intervale:

# (-o, -root (3) 3); (rădăcină (3) 3, rădăcină (3) 2); și (rădăcină (3) 2, oo) #.

Pasul 4: Determinați semnul părții stângi a inegalității la fiecare dintre intervalele de mai sus.

Utilizarea punctelor de testare este metoda obișnuită. Selectați o valoare din fiecare interval și înlocuiți-o cu x în partea stângă a inegalității. S-ar putea să alegem -2, apoi 0 și apoi 2.

Veți descoperi că partea din stânga este

pozitiv pe # (- oo, -root (3) 3) #;

negativ pe # (- rădăcină (3) 3, rădăcină (3) 2) #;

și pozitiv pe # (rădăcină (3) 2, oo) #.

Pasul 5: Finalizați problema.

Suntem interesați să știm unde # x ^ 6 + x ^ 3 - 6 ge 0 #.

Știm acum unde partea stângă este egală cu 0 și știm unde este pozitivă. Scrieți aceste informații în formă de interval ca:

# (- oo, -root (3) 3 uu rădăcină (3) 2, oo) #.

NOTĂ: Avem paranteze deoarece cele două laturi ale inegalității sunt egale în acele puncte, iar problema inițială necesită pentru noi include aceste valori. Dacă problema ar fi fost utilizată #># in loc de #GE#, am fi folosit paranteze.