Cum pot rezolva această ecuație diferențială?

Răspuns:

# y = 1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^

Explicaţie:

Acesta este un ecuația diferențială separabilă, ceea ce înseamnă pur și simplu că este posibilă gruparea #X# termeni & # Y # termeni de pe laturile opuse ale ecuației. Deci, asta vom face mai întâi:

# (e ^ x) y dy / dx = e ^ (- y) + e ^ (2x) * e ^

= (e ^ x) dy / dx = e ^ (- y) / y (1 + e ^

= e ^ x / (1 + e ^ (- 2x)) dy / dx = e ^

Acum, vrem să ajungem dy pe lateral cu y, și dx pe lateral cu x. Va trebui să facem un pic de rearanjare:

# (1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x dx = y / e ^ (- y)

Acum, integrăm ambele părți:

#int ((1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx = int y / e ^

Să facem fiecare parte integrantă la rândul său:

#int ((1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx #

Mai întâi, hai să împărțim acest lucru în două integrale separate prin regula adunării / scăderii:

(x) x (x) = x (x)

Acestea arată cam enervant. Cu toate acestea, le putem da un pic de machiaj pentru a le face să arate mai bine (și mult mai ușor de rezolvat):

()) dx + int (e ^ (- 3x)) dx #

Ambele sunt simple # U #- integrali de substituție. Dacă ați setat #u = -x # și # # -3x respectiv, veți primi răspunsul ca:

# -> -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

#int y / e ^ (- y) dy #

# Dacă facem exponentul negativ pozitiv, obținem:

#int (voi ^ y) dy #

Va trebui să folosim integrarea de părți pentru aceasta. Formula este:

#int (uv) dy = uv-int (v * du) #

Vom stabili #u = y #, și #dv = e ^ y dy #. Motivul este că vrem un lucru ușor # # Du pentru acea integrare finală și, de asemenea, pentru că # E ^ y # este foarte ușor de integrat.

Asa de:

#u = y #

# => du = dy #

#dv = e ^ y dy #

#v = e ^ y #

Acum, pur și simplu conectăm și ștergem:

= (y ^ y) dy = ye ^ y - int (e ^ y) dy #

# = ye ^ y - e ^ y #

Punerea totul înapoi:

# y ^ y - e ^ y = -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

Îndepărtarea exponenților negativi:

# y ^ y - e ^ y = -1 / e ^ (x) - 1 / (3e ^ (- 3x)

Și acesta este un răspuns fin decent. Dacă vroiai să rezolvi # Y #, ai putea, și ai fi terminat

# y = 1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^

Observați că nu avem # + C # pe LHS din această ecuație. Motivul pentru aceasta este că, chiar dacă am fi făcut-o, vom scădea în cele din urmă de RHS, iar o constantă arbitrară minus o constantă arbitrară este încă (așteaptă-o) o constantă arbitrară. Prin urmare, pentru aceste probleme, atâta timp cât aveți dvs. # + C # pe o parte a ecuației, veți fi bine.

Sper că a ajutat:)

Acum nu pot posta un comentariu. Caseta de comentarii a fost redusă la o singură linie (derulabilă), dar butonul "post comment" lipsește. Cum fac această întrebare, ca să pot posta această observație?

Am încercat să includ ecranul în cadrul întrebării inițiale prin editarea întrebării, dar am primit doar o casetă text de 2 linii. Deci, aici este ca și cum ar fi fost un răspuns

Cum se rezolvă ecuația diferențială separabilă și se găsește soluția particulară care satisface condiția inițială y (-4) = 3?

Soluție particulară: culoare (albastră) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = 13) Din ecuația diferențială dată y '(x) = sqrt (4y (x) +13) ia notă că y' (x) = dy / dx și y (x) = y, deci dy / 13) împărțiți ambele fețe cu sqrt (4y + 13) dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = sqrt (4y + 13) / sqrt (4y + 13) dy / dx )) = 1 Înmulțim ambele părți prin dx dx * dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = dx * 1 anulați (dx) dx * 1 dy / sqrt (4y + 13) = dx transpune dx în partea stângă dy / sqrt (4y + 13) -dx = 0 integrarea pe ambele părți avem următoarele rezultate int dy / sqrt (4y + 13) int dx = int 0 1/4 * int (4y + 13) ^ (- 1/2) * 4

Rezolvați ecuația diferențială: (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) = -16y? Discutați despre ce fel de ecuație diferențială este aceasta și când se poate ivi?

(dx) - (dx) / (dx) = -16y cel mai bine scris ca (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) + 16y = 0 triunghi qquad care arată că aceasta este o ecuație diferențială omogenă liniară secundară, are o ecuație caracteristică r ^ 2 -8 r + 16 = 0 care poate fi rezolvată după cum urmează (r- ^ 2 = 0, r = 4 aceasta este o rădăcină repetată, deci soluția generală este în forma y = (Ax + B) e ^ (4x) aceasta nu este oscilantă și modelează un fel de comportament exponențial care depinde într- din A și B. S-ar putea ghici că ar putea fi o încercare de a modela interacțiunea cu populația sau cu prădarea / pradă, dar nu pot spune