Care este ecuația în forma standard a parabolei cu focalizare la (42, -31) și o direcție directă de y = 2?

Răspuns:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x-907/22 larr # forma standard

Explicaţie:

Rețineți că direcția directoare este o linie orizontală

#y = 2 #

Prin urmare, parabola este tipul care se deschide în sus sau în jos; forma vârf a ecuației pentru acest tip este:

#y = 1 / (4f) (x -h) ^ 2 + k "1" #

Unde # (H, k) # este vârful și # F # este distanța verticală semnată de la vârf la focalizare.

Coordonata x a vârfului este aceeași cu cea a coordonatei x a focusului:

#h = 42 #

Substitui #42# pentru # H # în ecuația 1:

#y = 1 / (4f) (x -42) ^ 2 + k "2" #

Coordonata y a vârfului se află la jumătatea distanței dintre directrix și focalizare:

#k = (y_ "directrix" + y_ "focalizare") / 2 #

#k = (2 + (- 31)) / 2 #

#k = -29 / 2 #

Substitui #-29/2# pentru # # K în ecuația 2:

# y = 1 / (4f) (x -42) ^ 2-29 / 2 "3" #

Ecuația pentru a găsi valoarea lui # F # este:

#f = y_ "focus" -k #

#f = -31- (-29/2) #

#f = -33 / 2 #

Substitui #-33/2# pentru # F # în ecuația 3:

# y = 1 / (4 (-33 / 2)) (x-42) ^ 2-29 / 2 #

Simplificați fracțiunea:

# y = -1 / 66 (x-42) ^ 2-29 / 2 #

Extindeți pătratul:

# y = -1 / 66 (x ^ 2 -84x + 1764) -29 / 2 #

Distribuiți fracțiunea:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x-294 / 11-29 / 2 #

Combinați termeni asemănători:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x-907/22 larr # forma standard

Răspuns:

# y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x-907/22, #

Explicaţie:

Vom rezolva asta Problemă utilizând următoarele Concentrați-directricea

Proprietate (FDP) din Parabolă.

FDP: Orice punct pe Parabolă este echidistant de la

concentra si Directricea.

Hai, punctul # F = F (42, -31) "și linia" d: y-2 = 0, # fi

concentra si directricea din Parabola, spune S.

Lăsa, # P = P (x, y) în S, # fie orice Punctul general.

Apoi, folosind Distanta Formula, avem, distanța,

# FP = sqrt {(x-42) ^ 2 + (y + 31) ^ 2} …………………………. (1). #

Știind că # # Atedist. între un punct # (K, k), # și, o linie:

# Ax + de + c = 0, # este, # | Ah + bk + c | / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2), # constatăm că, # "btwn" P (x, y), &, d "este," | y-2 | ………….. (2)

De FDP, # (1) și (2), # noi avem, # sqrt {(x-42) ^ 2 + (y + 31) ^ 2} = | y-2 |, sau #

# (x-42) ^ 2 = (y-2) ^ 2- (y + 31) ^ 2 = -66y-957,

# X ^ 2-84x + 1764 = -66y-957. #

#:. 66y = -x ^ 2 + 84x-2721, # care, în Forma standard, citește, # y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x-907/22, #

la fel de Respectat Douglas K. Sir a derivat deja!

Bucurați-vă de matematică!