Răspuns:
Punctul de la origine.
Explicaţie:
Noi avem:
# f (x, y) = x ^ 2y-y ^ 2x #
Și deci derivăm derivatele parțiale. Amintiți-vă când diferențiați parțial faptul că diferențiăm variabila în cauză în timp ce tratați celelalte variabile ca fiind constante. Așadar:
# (parțial f) / (parțial x) = 2xy-y ^ 2 # și# (parțial f) / (parțial y) = x ^ 2-2yx #
La puncte extreme sau șa avem:
# (parțial f) / (parțial x) = 0 # și# (parțial f) / (parțial y) = 0 # simultan:
adică o soluție simultană de:
# 2xy-y ^ 2 = 0 => y (2x-y) = 0 => y = 0, x =
# x ^ 2yx = 0 => x (x-2y) = 0 => x = 0, x = 1 / 2y #
Prin urmare, la origine există doar un punct critic
(Parțial ^ 2 f) / (parțial x ^ 2) (parțial ^ 2 f) / (parțial y ^ 2) - { => # punctul de șa
Așadar, calculăm al doilea derivat parțial:
# (parțial ^ 2f) / (parțial x ^ 2) = 2y # ;(parțial ^ 2f) / (parțial y ^ 2) = -2x # și(parțial ^ 2 f) / (parțial x parțial parțial) = 2x-2y #
Și atunci când
# Delta = (0) (0) - {0-0} ^ 2 = 0 #
Ceea ce înseamnă că testul standard pentru șa este inclus și este necesară o analiză suplimentară. (Aceasta ar implica în mod obișnuit să privești semnele funcției pe mai multe felii sau să te uiți la cel de-al treilea test derivat parțial care depășește scopul acestei întrebări!).
De asemenea, ne putem uita la graficul 3D și putem trage concluzia rapidă că punctul critic pare să corespundă unui punct de șa:
Care sunt punctele extreme și șa ale lui f (x, y) = x ^ 3y + 36x ^ 2 - 8y?
Vedeți răspunsul de mai jos: Credite: Vă mulțumim lui Graphing Calculator 3D (http://www.runiter.com/graphing-calculator/) care a furnizat software-ul pentru a compila funcția 3D cu rezultatele.
Care sunt punctele extreme și șa ale lui f (x) = 2x ^ 2 lnx?
Domeniul de definire a lui: f (x) = 2x ^ 2lnx este intervalul x in (0, + oo). Evaluați primul și al doilea derivat al funcției: (df) / dx = 4xlnx + 2x2 / x = 2x (1 + 2inx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 / x = 2 + 4inx + 4 = 6 + lnx Punctele critice sunt soluțiile de: f '(x) = 0 2x (1 + 2inx) = 0 și x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) În acest punct: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0 astfel încât punctul critic este un minim local. Punctele șei sunt soluțiile de: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6 și f '' (x) ) este concavă în jos pentru x <1 / e ^
Care sunt punctele extreme și șa ale lui f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2?
{(0,0, "min"), ((-1, -2), "șa"), ((-1,2), "șa" ), ((-5 / 3,0), "max"):} Teoria pentru a identifica extremele lui z = f (x, y) (f) (y) și f_ (xy) (= f_ (yx)) la fiecare dintre aceste puncte critice (parțial f) / (parțial y) = 0 (ie z_x = z_y = . Prin urmare, evaluați Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 la fiecare din aceste puncte Determinați natura extrema; {Delta> 0, "Există o valoare minimă dacă" f_ (xx) <0), ("și maxim dacă" f_ (yy)> 0), Delta <0, există un punct de șa) , (Delta = 0, "Este necesară o analiză suplimentară"):} Așa că avem: