Cum pot rezolva 2sinx = cos (x / 3)?

Răspuns:

Soluțiile noastre aproximative sunt:

# circulația circulară, circa 703,058, circa 29,5149, circa 569,51, circa circa -192,573 circa sau circulația -732,573 circa 1080 circulația quad #

pentru întreg # # K.

Explicaţie:

# 2 sin x = cos (x / 3) #

Aceasta este o problemă destul de dură.

Să începem prin stabilirea # Y = x / 3 # asa de # x = 3y # și înlocuind. Apoi putem folosi formula triplă:

# 2 păcat (3y) = cos y #

# 2 (3 sin sin - 4 sin ^ y) = cos y #

Hai să ne pătrundem, așa că scriem totul în termeni de # sin ^ 2 y #. Acest lucru va introduce probabil rădăcini străine.

# 4 sin ^ 2y (3 - 4 sin ^ 2y) ^ 2 = cos ^ 2 y = 1 - sin ^ 2 y #

Lăsa # s = sin ^ 2 y #. Sines sine sunt numite tartinabile în trigonometria rațională.

# 4 s (3 - 4s) ^ 2 = 1 - s #

# 4 s (9 - 24 s + 16 s ^ 2) = 1 - s #

# 64 s ^ 3 - 96 s ^ 2 + 37 s - 1 = 0 #

Aceasta este o ecuație cubică cu trei rădăcini reale, candidați pentru sase pătraturi # 3x. # Am putea folosi formula cubică, dar asta va duce doar la unele rădăcini de cuburi de numere complexe care nu sunt deosebit de utile. Să luăm doar o soluție numerică:

# s 0.66035 sau s 0.029196 sau s 0.81045 #

# x = 3y = 3 arcsin (pm sqrt {s}) #

Să lucrăm în grade. Potențialele noastre soluții aproximative sunt:

# x = 3 arcsin (sq sqrt {0.66035}) aproximativ pm 163.058 ^ circ sau pm 703.058 ^ circ #

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.029196}) aproximativ pm 29.5149 ^ circ sau pm 569.51 ^ circ #

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.81045}) aproximativ pm 192.573 ^ circ sau pm 732.573 ^ circ #

Să vedem dacă vreunul dintre ei lucrează. Lăsa #e (x) = 2 sin x - cos (x / 3) #

#e (163.058 ^ circa) aproximativ 0.00001 quad # aceasta este o soluție.

#e (-163.058 ^ circa) aprox. -1.17 quad # nu o soluție.

În mod clar, cel mult unul #p.m# pereche va funcționa.

Zece mai multe pentru a merge.

#e (703.058 circa) aproximativ 0.00001 quad sqrt #

#e (-703.058 ^ circ) quad # nope

#e (29,5149 ^ circ) aproximativ 10 ^ {- 6} quad sqrt #

#e (-29.5149 ^ circ) quad # nope

#e (569,51 ^ circ) aproximativ 10 ^ {- 4} quad sqrt #

#e (-569.51 ^ circ) quad # nope

#e (192.573 ^ circ) aproximativ -87 quad # nope

#e (-192.573 ^ circa) aproximativ 0.00001 quad sqrt #

#e (732.573 ^ circa) aprox.87 quad # nope

#e (-732.573 ^ circa) aproximativ 0.00001 quad sqrt #

Arcul are un a # + 360 ^ circ k #, iar factorul de trei îl face # 1080 ^ circ k. #

OK, soluțiile noastre aproximative sunt:

# circulație circulară, circulație circulară, circulație circulară, circulară circulară 569,51 circulară, circulară circulară circulară circulară circulară, pentru întreg # # K.