Cum se convertește r = 7 / (5-5costheta) în formă dreptunghiulară?

Cum se convertește r = 7 / (5-5costheta) în formă dreptunghiulară?
Anonim

Răspuns:

Aceasta este parabola laterală # 70 x = 25 y ^ 2-49. #

Explicaţie:

Acesta este interesant pentru că se diferențiază; minimul numitorului este zero. Este o secțiune conică; pur și simplu divergente cred că o face o parabolă. Asta nu contează prea mult, dar ne spune că putem obține o formă algebrică frumoasă fără funcții triunghiulare sau rădăcini pătrate.

Cea mai bună abordare este sorta înapoi; folosim substituțiile polar-dreptunghiulare atunci când se pare că invers ar fi mai directă.

#x = r cos theta #

#y = r sin theta #

Asa de # ^ ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 (cos ^ ^ theta + sin ^ 2 theta) = r ^ 2 #

# r = 7 / {5 - 5 cos theta} #

V-om vedea #R> 0. # Începem prin eliminarea fracțiunii.

# 5 r - 5 r cos theta = 7 #

Avem un # r cos theta # deci aia e #X.#

# 5 r - 5 x = 7 #

# 5r = 5 x + 7 #

Observația noastră inițială a fost #r> 0 # așa că este în regulă.

# 25 r ^ 2 = (5x + 7) ^ 2 #

Acum înlocuim din nou.

# 25 (x ^ 2 + y ^ 2) = (5x + 7) ^ 2 #

Din punct de vedere tehnic am răspuns la întrebare în acest moment și ne-am putut opri aici. Dar încă mai trebuie să facem algebră și, sperăm, o recompensă la sfârșit: poate putem arăta că aceasta este de fapt o parabolă.

# 25 x ^ 2 + 25 y ^ 2 = 25x ^ 2 + 70 x + 49 #

# 25 y ^ 2 - 49 = 70 x #

# 1 = 70 (25 y ^ 2-49) = 1/70 (5y-7) (5y + 7) #

grafic {x = 1/70 (25y ^ 2-49) -17,35, 50, -30, 30}

Da, este o parabolă, rotită # 90 ^ # Circde la orientarea obișnuită.

Verificați: Alpha eyball