Care sunt extremele lui f (x) = (x ^ 2 -9) ^ 3 + 10 pe intervalul [-1,3]?

Răspuns:

Avem minim la # X = 0 # și un punct de inflexiune la # X = 3 #

Explicaţie:

O maximă este un punct înalt la care o funcție se ridică și apoi cade din nou. Astfel, panta tangentei sau valoarea derivatului la acel punct va fi zero.

Mai mult, deoarece tangentele din stânga maximelor vor fi înclinate în sus, apoi aplatizate și apoi înclinate în jos, panta tangentei va scădea continuu, adică valoarea celui de-al doilea derivat ar fi negativă.

Un minim, pe de altă parte, este un punct scăzut la care o funcție cade și apoi se ridică din nou. Ca atare, tangenta sau valoarea derivatului la minim, va fi zero.

Dar, deoarece tangentele din stânga minimelor vor fi înclinate în jos, apoi aplatizate și apoi înclinate în sus, panta tangentei va crește continuu sau valoarea derivatului secundar va fi pozitivă.

Dacă al doilea derivat este zero, avem un punct de

Totuși, aceste maxime și minime pot fi fie universale, adică maxime sau minime pentru întregul interval, fie pot fi localizate, adică maxime sau minime într-un interval limitat.

Să vedem acest lucru cu referire la funcția descrisă în întrebare și, pentru aceasta, să ne diferențiem mai întâi #f (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #.

Primul său derivat este dat de #f '(x) = 3 (x ^ 2-9) ^ 2 * 2x #

= # 6x (x ^ 4-18x ^ 2 + 81) = 6x ^ 5-108x ^ 3 + 486x #.

Aceasta ar fi zero pentru # X ^ 2-9 = 0 # sau #X = + - 3 # sau #0#. Dintre acestea numai #{0,3}# sunt în raza de acțiune #-1,3}#.

De aici rezultă maxime sau minime la puncte # X = 0 # și # X = 3 #.

Pentru a afla dacă este maximum sau minimă, să ne uităm la al doilea diferențial care este #f '' (x) = 30x ^ 4-324x ^ 2 + 486 # și prin urmare, în timp ce

la # X = 0 #, #f '' (x) = 486 # și este pozitivă

la # X = 3 #, #f '' (x) = 2430-2916 + 486 = 0 # și este un punct de inflexiune.

Prin urmare, avem o minimă locală la # X = 0 # și un punct de inflexiune la # X = 3 #

. Graficul {(x ^ 2-9) ^ 3 + 10 -5, 5, -892, 891}

Răspuns:

Minimul absolut este #(-9)^3+10# (care apare la #0#), maximul absolut al intervalului este #10#, (care apare la #3#)

Explicaţie:

Întrebarea nu precizează dacă trebuie să găsim extreme sau extreme extreme, așa că vom găsi ambele.

Extrema relativă poate apărea numai la numere critice. Numerele critice sunt valori ale #X# care sunt în domeniul # F # și la care oricare dintre ele #f '(x) = 0 # sau #f '(x) nu există. (Teorema lui Fermat)

Extreme extreme într-un interval închis pot să apară la numere critice în intervalul sau la intervalele intervalului.

Deoarece funcția cerută aici este continuă #-1,3#, Teorema Valorii Extreme ne asigură acest lucru # F # trebuie să aibă atât un minim absolut cât și un maxim absolut pe interval.

Numărul critic și extrema relativă.

Pentru #f (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #, găsim #f '(x) = 6x (x ^ 2-9) ^ 2 #.

Clar, # F '# niciodată nu există, astfel încât nu există numere critice de acest fel.

Rezolvarea # 6x (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 # oferă soluții #-3#, #0#, și #3#.

#-3# nu este în domeniul acestei probleme, #-1,3# așa că trebuie doar să verificăm #f (0) # și #f (3) #

Pentru #x <0 #, noi avem #f '(x) <0 # și

pentru #x> 0 #, noi avem #f '(x)> 0 #.

Astfel, prin primul test derivat, #f (0) # este un minim relativ. #f (0) = -9 ^ 3 + 10 #.

Celălalt număr critic din interval este #3#. Dacă ignorăm restricționarea domeniului, descoperim acest lucru #f '(x)> 0 # pentru toți #X# lângă #3#. Astfel, funcția crește pe intervale mici deschise care conțin #3#. Prin urmare, dacă ne oprim la #3# am atins punctul cel mai înalt în domeniu.

Există nu acord universal dacă să spun asta #f (3) = 10 # este un maxim relativ pentru această funcție #-1,3#.

Unele necesită valoare de ambele părți pentru a fi mai puțin, alții necesită valori în domeniu de pe ambele părți pentru a fi mai mici.

Absolut Extrema

Situația pentru extreme extreme la un interval închis # A, b # este mult mai simplu.

Găsiți numere critice în intervalul închis. Suna # c_1, c_2 # si asa mai departe.

Calculați valorile # f (a), f (b), f (c_1), f (c_2) # si asa mai departe. Cea mai mare valoare este maixmul absolut al intervalului, iar cea mai mică valoare este minimul absolut al intervalului.

În această întrebare se calculează #f (-1) = (-8) ^ 3 + 10 #, #f (-3) = 10 # și #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 #.

Minimul este #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 # și

maximul este #f (-3) = 10 #.