Întrebarea # 90cf3 + Exemplu

Răspuns:

Pentru a găsi rădăcinile de ecuații cum ar fi # e ^ x = x ^ 3 #, Vă recomandăm să utilizați o metodă de analiză numerică recursivă, numită Metoda lui Newton

Explicaţie:

Să facem un exemplu.

Pentru a utiliza metoda lui Newton scrieți ecuația în formular # f (x) = 0 #:

# e ^ x - x ^ 3 = 0 #

Calcula #f '(x) #:

# e ^ x - 3x ^ 2 #

Deoarece metoda necesită de a face același calcul de mai multe ori, până când se converge, vă recomandăm să utilizați o foaie de calcul Excel; restul răspunsului meu va conține instrucțiuni despre cum să faceți acest lucru.

Introduceți o estimare bună pentru x în celula A1. Pentru această ecuație, voi introduce 2.

Introduceți următoarele în celula A2:

= A1- (EXP (A1) - A1 ^ 3) / (EXP (A1) - 3 * A1 ^ 2)

Vă rugăm să rețineți că cele de mai sus este limba de calcul tabelar Excel pentru

# x_2 = x_1 - (e ^ (x_1) -x_1 ^ 3) / (e ^ (x_1) -3x_1 ^ 2) #

Copiați conținutul celulei A2 în A3 până la A10. După numai 3 sau 4 recurențe, puteți vedea că metoda sa convertit

#x = 1,857184 #

Răspuns:

Putem folosi teorema valorii intermediare pentru a vedea că fiecare pereche are cel puțin un punct de intersecție.

Explicaţie:

#f (x) = e ^ x-x ^ 2 # este continuă pe întreaga linie reală.

La # X = 0 #, noi avem #f (0) = 1 #.

La # x = -1 #, noi avem # f (-1) = 1 / e-1 # care este negativ.

# F # este continuu pe #-1,0#, deci există cel puțin una # C # în #(-1,0)# cu #f (c) = 0 #.

#G (x) = e ^ x-x ^ 3 # este continuă pe întreaga linie reală.

La # X = 0 #, noi avem #G (0) = 1 #.

La # X = 2 #, noi avem #g (2) = e ^ 2-8 # care este negativ.

(Rețineți că # e ^ 2 ~~ 2.7 ^ 2 <7.3 <8 #.)

# G # este continuu pe #0,2#, deci există cel puțin una # C # în #(0,2)# cu #G (c) = 0 #.