Ce rezolva? care opțiune este corectă?

Aceasta este ușor văzută ca imposibilă prin mijloace elementare, așa că am rezolvat-o numeric și am primit:

Am evaluat integral pentru #n = 1, 1,5, 2,…, 9,5, 10, 25, 50, 75, 100 #. Până atunci atingea în mod clar #0.5#.

Răspuns:

Vezi mai jos.

Explicaţie:

(n-1) dx = 1 # x (n-1) dx = 1 #

(n + 1) dx = 1/2 # dx = 1/2 #

sau

# 1/2 le int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le 1 #

Acum, presupunând că unul dintre răspunsuri este adevărat, cel mai natural pare să fie al patrulea 4)

NOTĂ

pentru #x în 0,1 #

# 1/2 le 1 / (1 + x ^ 2) le 1 #

Răspuns:

#1/2#

Explicaţie:

După cum sa arătat deja într-o soluție anterioară, #I_n = int_0 ^ 1 (nx ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx #

există și este limitată:

# 1/2 le I_n <1 #

Acum integrarea prin randamentele pieselor

# I_n = ((int nx ^ (n-1) dx) / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1-int_0 ^ 1 x ^ n ori (-) dx #

(1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1 + 2int_0 ^ 1 x ^ (n + 1) / (1 + x ^ 2) ^ 2dx #

#qquad = 1/2 + J_n #

Acum, din moment # 0 <(1 + x ^ 2) ^ - 1 <1 # în #(0,1)#

(1 + x 2 2) x 2 (n + 2) x 2 (n + 2)

(n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) dx = 2 / (n + 2)) #

De cand #lim_ (n la oo) I_n # există, avem

(n la oo) 2 / (n + 2) l (n + 2) = lim_ (n la oo) 2 / (n + 2) = 0 #

prin urmare

# lim_ (n la oo) I_n = 1/2 #