Care este antiderivativul 1 / sinx?

Răspuns:

Este # -un abs (cscx + pătuț x) #

Explicaţie:

# 1 / sinx = cscx = cscx (cscx + cotx) / (cscx + cotx) #

# = (csc ^ 2 x + csc x cot x) / (cscx + cotx) #

Numeratorul este opusul ("negativ") al derivatului denomina- torului.

Deci, antiderivativul este minus logaritmul natural al numitorului.

# -un abs (cscx + pătuț x) #.

(Dacă ați învățat tehnica substituției, putem folosi #u = cscx + pătuț x #, asa de #du = -csc ^ 2 x - cscx cotx #. Expresia devine # -1 / u du #.)

Puteți verifica acest răspuns diferențiând.

O abordare diferită față de ea

# INT1 / sinxdx # #=#

# Intsinx / păcat ^ # 2xdx

# Intsinx / (1-cos ^ 2x) dx #

Substitui

# Cosx = u #

# -Sinxdx = du #

# Sinxdx = -du #

#=# # -Int1 / (1-u ^ 2) du #

# 1 / (1-u ^ 2) = 1 / ((u-1) (u + 1)) = A / (u-1) + B / (u + 1) # #=#

# (A (u + 1) + B (u-1)) / ((u-1) (u + 1)) #

Avem nevoie #A (u + 1) + B (u-1) = 1 # #<=>#

# Au + A + Bu-B = 1 # #<=>#

# (A + B) u + A-B = 1 # #<=>#

# (A + B) u + A-B = 0U + 1 # #<=>#

# {(A + B = 0 ""), (A-B = 1 "") #<=>#

# {(A + B = 0 ""), (A = B + 1 "") #<=>#

# {(B + 1 + B = 0 ""), (A = B + 1 "") #<=>#

# {(B = -1 / 2 ""), (A = 1/2 "")

Prin urmare, # -Int1 / (1-u ^ 2) du # #=#

# -Int ((1/2) / (u-1) - (1/2) / (u + 1)) du # #=#

# 1 / 2INT (1 / (u + 1) -1 / (u-1)) du # #=#

# 1 / 2INT (((u + 1) ') / (u + 1) - ((u-1)') / (u-1)) du # #=#

# 1/2 (ln | u + 1 | -ln | u-1 | + c) # #=#

# 1/2 (ln | (u + 1) / (u-1) | + c) # #=#

# 1/2 (ln | (cosx + 1) / (cosx-1) | + c) # #=#

# 1/2 (ln | (1-cosx) / (1 + cosx) | + c) #

#ln | tan (x / 2) | + # c ', # (C, c ') ##în## RR #

Care este antiderivativul unei constante? + Exemplu

Mi se pare mai simplu să mă gândesc la acest lucru privindu-mă mai întâi la derivat. Adică: ce, după ce a fost diferențiat, ar avea ca rezultat o constantă? Desigur, o variabilă de gradul întâi. De exemplu, dacă diferențierea dvs. a dus la f '(x) = 5, este evident că antiderivativul este F (x) = 5x Deci, antiderivativul unei constante este ori variabila în cauză (fie ea x, y etc .) Putem pune acest lucru în mod matematic: intcdx <=> cx Rețineți că c este mutiplying 1 în integral: intcolor (verde) (1) * cdx <=> cx Aceasta înseamnă că variabila de gradul înt&#

Care este antiderivativul lui (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2)?

Răspunsul este x + arctan (x) Prima notă că: (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) poate fi scrisă ca (1 + (1 + x 2) + (1 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) = 1 + 1 / + x ^ 2) dx = int [1 + 1 / (1 + x ^ 2)] dx = int [1] dx + int [1 / (1 + x ^ 2)] dx = x + int [1 / ( 1 + x ^ 2)] dx = Derivatul arctanului (x) este 1 / (1 + x ^ 2). Acest lucru implică faptul că antiderivativul 1 / (1 + x ^ 2) este arctan (x) Și pe baza aceasta putem scrie: int [1 + 1 / De exemplu, int (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) dx == int [1 + 1 / (1 + x ^ 2)] dx = x + arctan din (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) este culoarea (albastru) (x + arctan (x)) "NB: Nu confundați antiderivativu

Cum găsiți antiderivativul e ^ (sinx) * cosx?

Utilizați o substituție u pentru a găsi inte ^ sinx * cosxdx = e ^ sinx + C. Observați că derivatul sinxului este cosx, și deoarece acestea apar în același integral, această problemă este rezolvată cu o substituție u. Fie u = sinx -> (du) / (dx) = cosx-> du = cosxdx inte sinx * cosxdx devine: inte ^ udu Acest integral se evaluează la e ^ u + C (deoarece derivatul lui e ^ u). Dar u = sinx, deci: inte ^ sinx * cosxdx = inte ^ udu = e ^ u + C = e ^ sinx + C