S = (a (r ^ n-1)) / (r-1) Efectuarea "r"

Răspuns:

Acest lucru nu este în general posibil …

Explicaţie:

Dat:

#s = (a (r ^ n-1)) / (r-1) #

În mod ideal, vrem să obținem o formulă precum:

#r = "o expresie în" s, n, a #

Acest lucru nu va fi posibil pentru toate valorile lui # N #. De exemplu, când # N = 1 # noi avem:

#s = (a (r ^ culoare (albastru) (1) -1)) / (r-1)

Atunci # R # poate lua orice valoare în afară de #1#.

De asemenea, rețineți că dacă # A = 0 # atunci # s = 0 # și din nou # R # poate lua orice valoare în afară de #1#.

Să vedem cât de departe putem ajunge în general:

Mai întâi multiplicați ambele părți ale ecuației date prin # (R-1) # a obține:

#s (r-1) = a (r ^ n-1) #

Înmulțind ambele părți, aceasta devine:

# Sr-s = ar ^ n-a #

Apoi, scăzând partea din stânga din ambele părți, obținem:

# 0 = ar ^ n-sr + (s-a) #

presupunând #A! = 0 #, putem împărți asta prin #A# pentru a obține ecuația polinomului monic:

# r ^ n-s / a r + (s / a-1) = 0 #

Rețineți că pentru toate valorile #la fel de# și # N # o rădăcină a acestui polinom este # R = 1 #, dar aceasta este o valoare exclusă.

Să încercăm să fim factori # (R-1) #…

# 0 = r ^ n-s / a r + (s / a-1) #

#color (alb) (0) = r ^ n-1-s / a (r-1) #

#color (alb) (0) = (r-1) (r ^ (n-1) + r (n-2)

Deci, împărțind-o # (R-1) # primim:

(n-1) + r (n-2) + … + 1-s / a = 0 #

Soluțiile în acest sens vor lua forme foarte diferite pentru diferite valori ale # N #. Până când #n> = 6 #, nu este, în general, rezolvată de radicali.