Trei tije de fiecare masă M și lungimea L sunt îmbinate pentru a forma un triunghi echilateral. Care este momentul inerției unui sistem despre o axă care trece prin centrul său de masă și perpendicular pe planul triunghiului?

Răspuns:

# 1/2 ML ^ 2 #

Explicaţie:

Momentul de inerție al unei singure tije pe o axă care trece prin centrul său și perpendicular pe ea este

# 1/12 ML ^ 2 #

Că fiecare parte a triunghiului echilateral pe o axă care trece prin centrul triunghiului și perpendicular pe planul său este

# 1 / 12ML ^ 2 + M (L / (2sqrt3)) ^ 2 = 1/6 ML ^ 2 #

(prin teorema axei paralele).

Momentul de inerție a triunghiului cu privire la această axă este atunci

# 3 x 1/6 ML ^ 2 = 1/2 ML ^ 2 #

Presupunând că tijele sunt subțiri, poziția centrului de masă al fiecărei tije se află în centrul tijei. Deoarece tijele formează un triunghi echilateral, centrul de masă al sistemului va fi la centroidul triunghiului.

Lăsa # D # fi distanța de centroid de la oricare dintre laturi.

# D / (L / 2) = tan30 #

# => D = L / 2tan30 #

# => D = L / (2sqrt3) # …..(1)

Momentul de inerție al unei singure tije, în jurul unei axe care trece prin centroidul perpendicular pe planul triunghiului, utilizând un rotor cu axa paralelă

#I_ "rod" = I_ "cm" + Md ^ 2 #

Există trei tije plasate în mod similar, așadar un moment total de inerție de trei tije ar fi

"Sistem" #I_ = 3 (I_ "cm" + Md ^ 2) #

# => "Sistem" I_ = 3I_ "cm" + 3Md ^ 2 # …….(2)

Al doilea termen folosind (1) este

# 3Md ^ 2 = 3M (L / (2sqrt3)) ^ 2 #

# => 3Md ^ 2 = 1 / 4ML ^ 2 # …..(3)

Ca moment de inerție a unei tije despre centrul său de masă este

#I_ "cm" = 1 / 12ml ^ 2 #

Primul termen în (2) devine

# 3I_ "cm" = 3xx1 / 12ml ^ 2 = 1 / 4ml ^ 2 # ….(4)

Folosind (3) și (4), devine ecuația (2)

#I_ "sistem" = 1 / 4ML ^ 2 + 1 / 4ML ^ 2 = 1 / 2ML ^ 2 kgm ^ 2 #