Raza unui cerc înscris într-un triunghi echilateral este 2. Care este perimetrul triunghiului?

Răspuns:

Perimetrul este egal cu # (3) # 12sqrt

Explicaţie:

Există multe modalități de a aborda această problemă.

Iată unul dintre ei.

Centrul unui cerc înscris într-un triunghi se află pe intersecția dintre bisectoarele unghiurilor sale. Pentru triunghiul echilateral, acesta este același punct în care se intersectează și altitudinile și medianii.

Orice median este împărțit în funcție de un punct de intersecție cu alți mediani #1:2#. Prin urmare, bisectorii mediani, altitudini și unghiurile unui triunghi echilateral în cauză sunt egali cu

#2+2+2 = 6#

Acum putem folosi teorema lui Pythagorean pentru a găsi o latură a acestui triunghi dacă știm bisectorul altitudinii / median / unghiului.

Dacă este o parte #X#, din teorema lui Pitagora

# x ^ 2 - (x / 2) ^ 2 = 6 ^ 2 #

Din această:

# 3x ^ 2 = 144 #

#sqrt (3) x = 12 #

# x = 12 / sqrt (3) = 4sqrt (3) #

Perimetrul este egal cu trei astfel de laturi:

# 3x = 12sqrt (3) #.

Răspuns:

Perimetrul este egal cu # (3) # 12sqrt

Explicaţie:

Metoda alternativă este mai jos.

Să presupunem că triunghiul nostru echilateral este #Delta ABC # și este centrul unui cerc înscris # O #.

Desenați un bisector median / altitude.angle de la vârf #A# prin punct # O # până când se intersectează lateral # # BC la punct # # M. Evident, # OM = 2 #.

Luați în considerare triunghiul #Delta OBM #.

este dreapta de cand #OM_ | _BM #.

Unghi # / _ OBM = 30 ^ o # de cand # # BO este un bisector unghiular # / _ ABC #.

Latură # BM # este jumătate din lateral # # BC de cand #A.M# este o valoare mediană.

Acum o putem găsi # OB # ca o hypotenuse într-un triunghi drept cu un unghi ascuțit egal cu # 30 ^ o # și cathetul opus acestuia este egal cu #2#. Această ipoteză este de două ori mai lungă decât acest cathet #4#.

Având hypotenuse # OB # și cathetus # OM #, găsiți un alt cathet # BM # de teorema lui Pythagorean:

# BM ^ 2 = OB ^ 2-OM ^ 2 = 16-4 = 12 #

Prin urmare,

# BM = sqrt (12) = 2sqrt (3) #

#BC = 2 * BM = 4sqrt (3) #

Perimetrul este

# 3 * BC = 12sqrt (3) #