Dacă 3x ^ 2-4x + 1 are nivele alfa și beta, atunci ceea ce are zerouri alfa ^ 2 / beta și beta ^ 2 / alpha?

Răspuns:

Găsi #alfa# și # # Beta primul.

Explicaţie:

# 3x ^ 2 - 4x + 1 = 0 #

Factorii din stânga, așa că avem

# (3x - 1) (x - 1) = 0 #.

Fără pierderea generalității, rădăcinile sunt #alpha = 1 # și #beta = 1/3 #.

# alpha ^ 2 / beta = 1 ^ 2 / (1/3) = 3 # și #(1/3)^2/1= 1/9#.

Un polinom cu coeficienți raționali care are aceste rădăcini este

# f (x) = (x - 3) (x - 1/9) #

Dacă dorim coeficienți întregi, înmulțiți cu 9 pentru a obține:

# x (x) = 9 (x - 3) (x - 1/9) = (x - 3)

Putem multiplica acest lucru dacă dorim:

#g (x) = 9x ^ 2 - 28x + 3 #

NOTĂ: În general, am putea scrie

#f (x) = (x - alpha ^ 2 / beta) (x - beta ^ 2 / alfa) #

# = x ^ 2 - ((alfa ^ 3 + beta ^ 3) / (alfabeta)) x + alfabeta #

Răspuns:

# 9x ^ 2-28x + 3 #

Explicaţie:

Rețineți că:

(x-beta) = x ^ 2 (alfa + beta) x + alfa beta #

și:

(alfa-2 / beta) (beta-2 / alfa) = x ^ 2 (alfa ^ / beta + alfa)#

#color (alb) ((alfa ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alfa)

#color (alb) ((x-alpha ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alpha) beta) x + alfa beta #

În exemplul nostru, împărțirea # 3x ^ 2-4x + 1 # de #3# noi avem:

# {(alfa + beta = 4/3), (beta beta = 1/3):} #

Asa de:

# ((alfa + beta) ^ 3-3alpha beta (alfa + beta)) / (alfa beta) = ((4/3) ^ 3-3 (1/3)) = (64 / 27-4 / 3) / (1/3) = 28/9 #

Astfel, polinomul dorit poate fi scris:

# X ^ 2-28 / 9x +: 1/3 #

Multiplicați prin #9# pentru a obține coeficienții întregi:

# 9x ^ 2-28x + 3 #

Răspuns:

Soluția propusă mai jos;

Explicaţie:

# 3x²-4x + 1 #

Notă: #A# este alfa, # B # este beta

#a + b = 4/3 #

#ab = 1/3 #

Pentru a forma o ecuație găsim suma și produsele rădăcinilor.

Pentru Sum

# (a2) / b + (b2) / a = (a ^ 3 + b ^ 3) / (ab) #

Dar; # a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) 3 3ab (a + b) #

Prin urmare;

# ((A + b) ³-3ab (a + b)) / (ab) #

Prin urmare, înlocuim valorile..

#((4/3)³-3(1/3)(4/3))/(1/3)#

# ((64/27) -cancel3 (1 / cancel3) (4/3)) / (1/3) #

#(64/27 - 4/3)/(1/3)#

#((64 - 36)/27)/(1/3)#

#(28/27)/(1/3)#

# (28/27) div (1/3) #

# (28/27) xx (3/1) #

# (28 / cancel27_9) xx (anulare3 / 1) #

#28/9#

Prin urmare, suma este #28/9#

Pentru produse

# ((A²) / b) ((b²) / a) #

# ((Ab) ²) / (ab) #

# (1/3) ^ 2 div 1/3 #

# 1/9 Div 1/3 #

# 1/9 x x 3/1 #

# 1 / cancel9_3 xx anulare3 / 1 #

# 1/3 xx 1/1 #

#1/3#

Prin urmare, produsul este #1/3#

# X²- (a + b) x + ab #

# X²- (28/9) x +: 1/3 #

# 9x²-28x + 3 #

Înmulțire prin #9#

Sper că acest lucru vă ajută!