Care sunt greșelile obișnuite pe care elevii le fac cu elipsele în formă standard?

Formularul Standard pentru o elipsă (așa cum o predau) arată ca: # (X-h) ^ 2 / a ^ 2 + (y-k) ^ 2 / b ^ 2 = 1 #.

(h, k) este centrul.

distanța "a" = cât de departe dreapta / stânga pentru a vă deplasa din centru pentru a găsi punctele finale orizontale.

distanța "b" = cât de departe sus / jos pentru a vă deplasa de la centru pentru a găsi punctele finale verticale.

Cred că de multe ori studenții vor gândi greșit acest lucru # A ^ 2 # este cât de departe se poate îndepărta de la centru pentru a localiza punctele finale. Uneori, aceasta ar fi o distanță foarte mare de a călători!

De asemenea, cred că uneori elevii merg în mod greșit în sus / în jos în loc de dreapta / stânga atunci când aplică aceste formule la problemele lor.

Iată un exemplu pentru a vorbi despre:

# (X-1) ^ 2/4 + (y + 4) ^ 2/9 = 1 #

Centrul este (1, -4). Ar trebui să mutați dreapta și stânga "a" = 2 unități pentru a obține punctele orizontale la (3, -4) și (-1, -4). (vezi imaginea)

Ar trebui să vă deplasați în sus și în jos "b" = 3 unități pentru a obține punctele finale verticale la (1, -1) și (1, -7). (vezi imaginea)

Din moment ce <b, axa principală va fi în direcția verticală.

Dacă a> b, axa principală se va desfășura în direcție orizontală!

Dacă trebuie să aflați alte informații despre elipse, adresați-vă o altă întrebare!

(Confuzia cu privire la faptul dacă #A# și # B # reprezintă radiile majore / minore sau #X#- & # Y #-radii)

Amintiți-vă că forma standard pentru o elipsă centrat la origine este

# x ^ 2 / (a ^ 2) + y ^ 2 / b ^ 2 = 1 #

Deja, cu toate acestea, unii se vor confrunta cu formula de mai sus. Unele școli de gândire țin asta #A# ar trebui să fie întotdeauna mai mare decât # B # și reprezintă astfel lungimea razei majore (chiar dacă raza principală se află în direcția verticală, permițând astfel # Y ^ 2 / a ^ 2 # într-un astfel de caz), în timp ce altele susțin că ar trebui să reprezinte întotdeauna #X#-radius (chiar dacă #X#-radius este raza minoră).

Același lucru este adevărat cu # B #, deși în sens invers. (adică unii cred acest lucru # B # ar trebui să fie întotdeauna raza minoră, iar alții cred că ar trebui să fie mereu # Y #-rază).

Asigurați-vă că știți ce metodă preferă instructorul dvs. (sau programul pe care îl utilizați). Dacă nu există o preferință puternică, atunci pur și simplu decideți singuri, dar să fie în concordanță cu decizia dvs.. Schimbarea minții la jumătatea misiunii va face lucrurile neclare și vă va schimba mintea la jumătatea drumului printr-un singur punct problemă va duce doar la greșeli.

(Radius / axă confuzie)

Majoritatea greșelilor din elipse par să rezulte din această confuzie cu privire la raza care este importantă și care este minoră. Alte greșeli posibile pot apărea dacă se confundă raza majoră cu axa principală (sau cu raza minoră cu axa minoră). Axa majoră (sau minoră) este egală cu dublul razei majore (sau minore), deoarece este, în esență, diametrul major (sau minor). În funcție de etapa în care apare această confuzie, aceasta poate duce la erori grave la scară pentru elipsă.

(Radius / rază de confuzie pătrat)

O eroare similară apare atunci când elevii uită că numitorii (# a ^ 2, b ^ 2 #) sunt pătratele razei, și nu raza în sine. Nu este neobișnuit să vezi un student cu o problemă, cum ar fi # x ^ 2/9 + y ^ 2/4 = 1 # trageți o elipsă cu #X#-radius 9 și # Y #-radius 4. În plus, acest lucru se poate întâmpla în legătură cu greșeala de mai sus (confuzând raza diametrului), conducând la rezultate cum ar fi un student cu ecuația de mai sus, desenând o elipsă cu diametrul major 9 (și astfel raza principală 4.5) în loc de diametrul principal corect 6 (și raza principală 3).

(Hyperbola și confuzie cu Ellipse) AVERTIZARE: Răspunsul este destul de lung

O altă greșeală relativ obișnuită apare dacă cineva își amintește greșit formula pentru elipsă. Mai exact, cea mai frecventă dintre aceste erori pare să apară atunci când se confundă formula pentru elipse cu cea pentru hiperbola (care, amintesc, este # x ^ 2 / a ^ 2-y ^ 2 / b ^ 2 = 1 # sau # y ^ 2 / b ^ 2 - x ^ 2 / a ^ 2 = 1 # pentru cele centrate la origine, din nou supuse convențiilor de etichetare a axelor enumerate mai sus). Pentru aceasta, ajută să amintim definiția elipsei și hiperbola ca secțiuni conice.

Mai precis, reamintim că o elipsă este locul locurilor legate de două focare # f_1 & f_2 # situate de-a lungul axei principale astfel încât, pentru un punct arbitrar # P # pe locus, distanța de la # P # la # # F_1 (etichetat # # D_1) plus distanța de la # P # la # # F_2 (etichetat # # D_2) este egal cu dublul razei majore (adică dacă #A# este raza principală, # d_1 + d_2 = 2a #). Mai mult, distanța de la centru la oricare dintre aceste focare (uneori numite separarea semi-focală sau excentricitatea liniară), presupunând #A# este raza majoră, este egală cu #sqrt (a ^ 2-b ^ 2) #.

Prin contrast, o hiperbola este locusul de puncte legate de două focare într-un mod care, pentru un punct # P # pe locus, valoarea absolută a lui diferență între distanța punctului până la prima focalizare și distanța punctului față de cea de-a doua focalizare este egală cu dublul razei majore (adică cu #A# raza mare, # | d_1 - d_2 | = 2a #). În plus, distanța de la centrul hiperboliei la oricare dintre aceste focare (din nou, uneori numită excentricitatea liniară, și încă presupunând #A# raza principală) este egală cu #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Referitor la definiția secțiunilor conice, în ansamblu excentricitate # E # a unei secțiuni determină dacă este un cerc (# E = 0 #), elipsă (# 0 <e <1 #), parabola (# E = 1 #) sau hiperbolă (#E> 1 #). Pentru elipse și hiperbolații, excentricitatea poate fi calculată ca raportul dintre excentricitatea liniară și lungimea razei majore; astfel, pentru o elipsă va fi # a = sqrt (a ^ 2-b ^ 2) / a = sqrt (1 - b ^ 2 / a ^ 2) (și astfel neapărat mai puțin de 1), iar pentru o hiperbolă va fi # a = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) / a = sqrt (1 + b ^ 2 / a ^ 2) (și astfel neapărat mai mare de 1).