Psi (x, t) = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) ?

#A)#

Trebuie doar să luați #Psi ^ "*" Psi #.

#color (albastru) (Psi ^ "*" Psi) = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) (iomega_2t) #

(1 / L) sin ((pix) / L) e ^ (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix)

= (1) / lsin2 ((pix) / l) + 1 / L ((pix) / L) sin (pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_2-omega_1)

# = culoare (albastru) (1 / L sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) / L) e ^ (i (omega_1-omega_2) t) + e ^ (i (omega_2-omega_1)

#b) #

Perioada poate fi găsită cu un efort minim, pur și simplu prin cunoașterea mai întâi a energiilor, care sunt constantele mișcării.

Energia lui # phi_1 = sqrt (1 / L) păcat ((pix) / L) # este # E_1 = (1 ^ 2pi ^ 2 ^ ^ 2) / (4mL ^ 2) #, și energia lui # # Phi_2 este # # 4E_1. Prin urmare, frecvența # # Omega_2 de # # Phi_2 este de patru ori mai mare decât cea a lui # # Phi_1 (# # Omega_1).

Ca urmare, perioada # T_1 = (2pi) / (omega_1) # de # # Phi_1 este de patru ori mai mare decât cea a lui # # Phi_2 (# T_2 = (2pi) / (omega_2) #, și este, de asemenea, o perioadă de # # Phi_2.

Perioada este astfel #color (albastru) (T = (2pi) / (omega_1)) #.

#c) #

Vă las să conectați-o în sine pe ea #t _ "*" = pi / 2 (E_2-E_1) #. Nu trebuie să faceți nimic cu el …

Noi stim aia #T = (2pi) / (omega_1) #, și asta # (iEt) / ℏ = iomegat #, asa de

#E_n = omega_nℏ #.

Ca rezultat, # pi / (2 (E_2-E_1)) = pi / (2 (omega_2-omega_1)

și

#color (albastru) (t _ "*" / T) = pi / (2 (omega_2-omega_1)) cdot (omega_1) / (2pi)

# = 1 / (2 (4omega_1-omega_1)) cdot (omega_1) / (2) #

# = omega_1 / (4 ℏ (3omega_1)) #

# = culoare (albastru) (1 / (12ℏ)) #

#z) #

Probabilitatea de a găsi particula în # 0, L / 2 # este dat ca

#int_ (0) ^ (L / 2) Psi ^ "*" Psidx #

1 = Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (3iomega_1t) + e ^

1 = Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 (2pix) ((pix) / L) sin ((2pix) / L) cos (3omega_1t) dx #

Primii doi termeni sunt simetrici cu jumătate din amplitudine și randament #50%# per total.

Al treilea termen ar avea o probabilitate staționară de stat # 4 / (3pi) #, și # # cos este un factor de fază arbitrară. Astfel, probabilitatea generală este

# = culoare (albastru) (0,50 + 4 / (3pi) cos (3omega_1t)) #

#E) #

#color (albastru) (<< x >>) = << Psi | x | Psi >> = << xPsi | Psi >> #

(L / 2) xsin ^ 2 ((pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) 2xsin ((pix) / L) sin ((2pix)

Nu există o soluție trivială la acest lucru … Se pare că aceasta este:

# L / (4pi2) + L / 8 + (2L) / (3pi) - (8L) / (9pi ^ 2)

# = culoare (albastru) (((2 + pi2) L) / (8pi2) + (6pi-8) L)

#f) #

La # x = L / 2 #, #păcat# termenii merg la #sin (pi / 2) = 1 # și a #sin (pi) = 0 #, respectiv.

De cand #sin (pi) = 0 #, partea dependentă de timp a #Psi ^ "*" Psi # dispare și partea independentă de timp păstrează # 1 / L # ca densitate de probabilitate.