Care este proiecția (4 i + 4 j + 2 k) pe (i + j-7k)?

Răspuns:

Proiecția vectorului este #< -2/17,-2/17,14/17 >#, proiecția scalară este # (- 2sqrt (51)) / 17 #. Vezi mai jos.

Explicaţie:

Dat # Veca = (4i + 4j + 2k) # și # vecb = (i + j-7k) #, noi putem gasi #proj_ (vecb) Veca #, vector proiecție de # # Veca pe # # Vecb utilizând următoarea formulă:

#proj_ (vecb) Veca = ((Veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

Asta este produsul dot al celor două vectori împărțit la magnitudinea lui # # Vecb, înmulțit cu # # Vecb împărțită la amploarea sa. Cea de-a doua cantitate este o cantitate vectorială, deoarece divizăm un vector printr-un scalar. Rețineți că ne împărțim # # Vecb prin magnitudinea sa, pentru a obține o vector unitate (vector cu magnitudine de #1#).S-ar putea să observați că prima cantitate este scalară, deoarece știm că atunci când luăm produsul punct de două vectori, rezultatul este un scalar.

De aceea mărime scalară proiecție de #A# pe # B # este #comp_ (vecb) Veca = (a * b) / (| b |) #, de asemenea scrisă # | Proj_ (vecb) Veca | #.

Putem începe prin a lua produsul dot al celor două vectori, care pot fi scrise ca # veca = <4,4,2> # și # vecb = <1,1, -7> #.

# veca * vecb = <4,4,2> * <1,1, -7> #

#=> (4*1)+(4*1)+(2*-7)#

#=>4+4-14=-6#

Apoi putem găsi magnitudinea lui # # Vecb prin luarea rădăcinii pătrate a sumei pătratelor fiecăruia dintre componente.

# | Vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | Vecb | = sqrt ((1) ^ 2 + (1) ^ 2 + (- 7) ^ 2) #

# => Sqrt (1 + 1 + 49) = sqrt (51) #

Și acum avem tot ce avem nevoie pentru a găsi proiecția vectorului # # Veca pe # # Vecb.

#proj_ (vecb) veca = (- 6) / sqrt (51) * (<1,1, -7>) / sqrt

#=>(-6 < 1,1,-7 >)/51#

#=>-2/17< 1,1,-7 >#

Puteți distribui coeficientul fiecărei componente a vectorului și scrieți-l ca:

#=>< -2/17,-2/17,+14/17 >#

Proiecția scalară a # # Veca pe # # Vecb este doar prima jumătate a formulării, unde #comp_ (vecb) Veca = (a * b) / (| b |) #. Prin urmare, proiecția scalară este # -6 / sqrt (51) #, care nu simplifică în continuare, pe lângă raționalizarea numitorului dacă dorește, dând # (- 6sqrt (51)) / 51 => (-2sqrt (51)) / 17 #

Sper că vă ajută!