Întrebarea nr. 35a7e

Răspuns:

Așa cum am menționat în comentariile de mai jos, aceasta este seria MacLaurin pentru #f (x) = cos (x) #, și știm că aceasta converge # (- oo, oo) #. Cu toate acestea, dacă doriți să vedeți procesul:

Explicaţie:

Deoarece avem un factorial în numitor, folosim testul raportului, deoarece acest lucru simplifică simplificarea. Această formulă este:

#lim_ (n-> oo) (a_ (n + 1) / a_n) #

Dacă aceasta este <1, seria dvs. converge

Dacă aceasta este> 1, seriile dvs. diferă

Dacă aceasta este = 1, testul dvs. este neconcludent

Deci, să facem acest lucru:

#lim_ (k-> oo) ABS ((- 1) ^ (k + 1) (x ^ (2k + 2) / ((2k + 2))) * (- 1) ^ k ((2k)!) / (x ^ (2k)) #

Notă: Fiți foarte atenți la modul în care vă conectați (k + 1). 2k se va transforma în 2 (k + 1), NOT 2k + 1.

Am înmulțit cu reciprocitatea lui # X ^ (2k) / ((2k)!) # în loc să se împartă doar pentru a face munca mai ușoară.

Acum, hai să algebrăm. Datorită valorii absolute, termenii noștri alternativi (adică # (- 1) ^ k #) sunt doar de gând să anuleze, deoarece vom avea întotdeauna un răspuns pozitiv:

(2k + 2) / ((2k + 2))) * ((2k)) / (x ^ (2k)) #

Ne putem anula # X ^ (2k) #„S:

= (2k + 1)) * ((2k)!) #

Acum trebuie să anulam factoriali.

Reamintește asta # (2k)! (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1 #

De asemenea, # (2k + 2)! = (2k + 2) * (2k + 1) * (2k) * (2k - 1) * …. *

Înștiințare:

# (2k)! = (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1)

# (2k + 2)! = (2k + 2) * (2k + 1) * culoare (roșu) ((2k) * (2k - 1)

După cum puteți vedea, noi # (2k)! # este, în esență, o parte din # (2k + 2)! #. Putem folosi aceasta pentru a anula fiecare termen comun:

# (2k)!) / ((2k + 2)!) = Anulați (culoarea (roșu) (2k-2) (2k + 2) * (2k + 1) * anulați (culoarea (roșu) (2k) * (2k - 1) * * * 3 * 2 * 1)) #

# = 1 / ((2k + 2) (2k + 1)) #

Asta pleacă

(2k + 2) (2k + 1))) # #

Acum putem evalua această limită. Rețineți că, deoarece nu luăm această limită în ceea ce privește #X#, putem face acest lucru:

= (2k + 2) (2 k + 1))) # #

# => abs (x ^ 2 * 0) = 0 #

Așa cum puteți vedea, această limită = 0, care este mai mică decât 1. Acum ne întrebăm: există vreo valoare #X# pentru care această limită ar fi 1? Și răspunsul este nu, deoarece orice înmulțit cu 0 este 0.

Deci, de atunci (2k + 2) / ((2k + 2))) * ((2k)) / (x ^ (2k))) pentru toate valorile #X#, putem spune că acesta are un interval de convergență # (- oo, oo) #.

Sper că a ajutat:)