Care este formula pentru a găsi zona unui dodecagon obișnuit?

Răspuns:

#S _ ("dodecagon regulat") = (3 / (tan 15 ^ @)) "partea" ^ 2 = = 11.196152 * "partea" ^ 2 #

Explicaţie:

Gândindu-ne la un dodecagon obișnuit inscripționat într-un cerc, putem vedea că acesta este format din 12 triunghiuri isosceles ale căror laturi sunt raza cercului, raza cercului și partea dodecagonului; în fiecare din aceste triunghiuri, unghiul opus lateralei lui dodecagon este egal cu #360^@/12=30^@#; zona fiecăruia dintre aceste triunghiuri este # ("Partea" * "înălțime) / 2 #, trebuie doar să determinăm înălțimea perpendiculară pe partea dodecagonului pentru a rezolva problema.

În triunghiul izoscel menționat, a cărui bază este partea dodecagonului și a cărei laturi egale sunt razele cercului, a căror unghi opus față de bază (#alfa#) este egal cu #30^@#, există doar o linie trasată de la vârful în care se întâlnesc razele cercului (punctul C) care intersectează perpendicular partea dodecagonului: această linie bisectează unghiul #alfa# și definește înălțimea triunghiului între punctul C și punctul în care este interceptată baza (punctul M), precum și divizarea bazei în două părți egale (toate deoarece cele două triunghiuri mici astfel formate sunt congruente).

Deoarece cele două triunghiuri menționate mai sus sunt cele drepte putem determina înălțimea triunghiului isoscel în felul următor:

#tan (alfa / 2) = "cathetus opus" / "cathetus adiacent" # => #tan (30 ^ @ / 2) = ("lateral" / 2) / "înălțime" # => #height = "partea" / (2 * tan 15 ^ @) #

Atunci noi avem

#S_ (dodecagon) = 12 * S_ (triunghi) = 12 * ((lateral) (înălțime) / 2 = 6 *) # => #S_ (dodecagon) = 3 * ("lateral") ^ 2 / (tan 15 ^) #