Cum integrați e ^ x * cos (x)?

Răspuns:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ x / 2 (cosx + sinx) + C #

Explicaţie:

Trebuie să folosești două părți pentru integrare.

Pentru #u (x) și v (x) #, IBP este dat de

#int uv 'dx = uv - int u'vdx #

Lăsa #u (x) = cos (x) implică u '(x) = -sin (x) #

#v '(x) = e ^ x implică v (x) = e ^ x #

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xcos (x) + culoare (roșu) (inte ^ xsin (x)

Acum folosiți IBP pe termenul roșu.

= x (x) = sin (x) implică u '(x) = cos (x) #

#v '(x) = e ^ x implică v (x) = e ^ x #

(x) dx = e ^ xcos (x) + e ^ xsin (x) - inte ^ xcos (x)

Grupați integralele împreună:

(X) + sin (x)) + C # (x)

Prin urmare

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ x / 2 (cosx + sinx) + C #

Lăsa # I = inte ^ xcosxdx #

Folosim, Regula de integrare prin părți #: intuvdx = uintvdx-int (du) / dxintvdx dx #.

Luăm, # u = cosx și, v = e ^ x #.

Prin urmare, # (du) / dx = -sinx și, intvdx = e ^ x #. Prin urmare, # I = e ^ xcosx + inte ^ xsinxdx = e ^ xcosx + J, J = inte ^ xsinxdx #.

A găsi # J #, aplicăm același Regula, dar acum, cu # U = sinx #, &, # V = e ^ x #, primim,

# J = e ^ xsinx-inte ^ xcosxdx = e ^ xsinx-I #.

Subîncărcați acest lucru în # I #, noi avem, # I = e ^ xcosx + e ^ xsinx-I #, adică, # 2I = e ^ x (cosx + sinx) #, sau, # I = e ^ x / 2. (Cosx + sinx) #.

Bucurați-vă de matematică!

Răspuns:

# E ^ x / 2 (cosx + sinx) + C #.

Explicaţie:

Lăsa # I = e ^ xcosxdx și, J = inte ^ xsinxdx #

Utilizarea IBP #; intuvdx = uintvdx-int (du) / dxintvdx dx #, cu,

# u = cosx și, v = e ^ x #, primim, # I = e ^ xcosx-int (-sinx) e ^ XDX = e ^ xcosx + inte ^ xsinxdx #, adică, # I = e ^ xcosx + J rArr I-J = e ^ xcosx …. …………….. (1) #

Din nou, de către IBP, în # J # primim, # J = e ^ xsinx-inte ^ xcosx #, prin urmare, # J = e ^ xsinx-I rArr J + I = e ^ xsinx …………….. (2) #

Rezolvarea #(1) & (2)# pentru #I și J #, noi avem, (I) = I = e ^ x / 2 (cosx + sinx) + C,

Bucurați-vă de matematică!