Care sunt toate valorile pentru k pentru care int_2 ^ kx ^ 5dx = 0?

Răspuns:

Vezi mai jos.

Explicaţie:

# int_2 ^ kx ^ 5 dx = 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) #

și

# K ^ 6-2 ^ 6 = (k ^ 3 + 2 ^ 3) (k ^ 3-2 ^ 3) # dar

#k ^ 3 + 2 ^ 3 = (k + 2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) # și

#k ^ 3-2 ^ 3 = (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) # asa de

(k + 2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2)

sau

# {(K + 2 = 0), (k ^ 2 ^ 2-2k + 2 = 0), (2-k = 0), (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2 = 0):} #

apoi în cele din urmă

valori reale #k = {-2,2} #

valorile complexe #k = {1pm i sqrt3,1pm i sqrt3} #

Răspuns:

# k = + - 2 #

Explicaţie:

Cerem:

# int_2 ^ k x ^ 5 dx = 0 #

Integrarea obținem:

# x ^ 6/6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 culoare (alb) ("" / "") x ^ 6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) = 0 #

#:. (k ^ 3) ^ 2- (2 ^ 3) ^ 2 = 0 #

#:. k ^ 3 = + - 2 ^ 3 #

#:. k = + - 2 #,

Asumand #k în RR # (există, de fapt #6# rădăcini, #4# din care sunt complexe)

Acum, în funcție de contextul problemei, s-ar putea argumenta acest lucru #k <2 # (de exemplu, # K = -2 #) este invalid ca #k> = 2 # pentru a face ca "internarea" internă să excludă această soluție, dar fără nici un context este rezonabil să se includă ambele soluții.

De asemenea, rețineți că #k = + - 2 # ar putea fi dovedite a fi soluții fără a se realiza nicio integrare.

În primul rând, o proprietate a integrali definiți este aceea că:

# int_a ^ a f (x) = 0 #

astfel încât să putem stabili imediat # K = 2 # este o soluție.

În al doilea rând, # X ^ 5 # este un ciudat Funcția și funcțiile impare satisfac:

# f (-x) = f (x) #

și au simetrie rotativă cu privire la origine. ca atare, dacă #f (x) # este ciudat atunci:

# int_ (a) ^ a f (x) = 0 #

astfel încât să putem stabili imediat # K = -2 # este o soluție.

Integrarea și calculele ulterioare dovedesc însă că acestea sunt singurele soluții!