Cum verificați următoarea identitate?

Răspuns:

Folosește câteva identități și multe simplificări. Vezi mai jos.

Explicaţie:

Când se ocupă cu lucruri de genul # # Cos3x, ajută la simplificarea funcțiilor trigonometrice ale unei unități #X#; adică ceva asemănător # # COSX sau # ^ cos 3x #. Putem folosi regula sumă pentru cosinus pentru a realiza acest lucru:

#cos (alfa + beta) =-cosalphacosbeta sinalphasinbeta #

Deci, de atunci # Cos3x = cos (2x + x) #, noi avem:

#cos (2x + x) = cos2xcosx-sin2xsinx #

# = (Cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx) - (2sinxcosx) (sinx) #

Acum putem înlocui # # Cos3x cu expresia de mai sus:

# (Cos3x) / cosx = 1-4sin ^ 2x #

# ((Cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx) - (2sinxcosx) (sinx)) / cosx = 1-4sin ^ 2x #

Putem împărți această fracțiune mai mare în două fracțiuni mai mici:

# ((Cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx)) / cosx - ((2sinxcosx) (sinx)) / cosx = 1-4sin ^ 2x #

Rețineți cum anulează cosinusii:

# ((Cos ^ 2x-sin ^ 2x) anula (cosx)) / anula (cosx) - ((2sinxcancel (cosx)) (sinx)) / cancelcosx = 1-4sin ^ 2x #

# -> cos ^ 2x-sin ^ 2x-2sin ^ 2x = 1-4sin ^ 2x #

Acum adaugati a # Păcat ^ 2x-sin ^ 2x # în partea stângă a ecuației (care este același lucru cu adăugarea #0#). Argumentarea din spatele acestui lucru va deveni clară într-un minut:

# cos ^ 2x-sin ^ 2x-2sin ^ 2x + (sin ^ 2x-sin ^ 2 x) = 1-4sin ^ 2x #

Rearanjați termenii:

# cos ^ 2x + sin ^ 2x- (sin ^ 2x + sin ^ 2x + 2sin ^ 2x) = 1-4sin ^ 2x #

Folosiți Identitatea Pitagoreană # Păcat ^ 2x + cos ^ 2x = 1 # și combinați # Păcat ^ 2x #s în paranteze:

# 1- (4sin ^ 2x) = 1-4sin ^ 2x #

Puteți vedea că trucul nostru de a adăuga # Păcat ^ 2x-sin ^ 2x # ne-a permis să folosim Identitatea Pitagoreană și să colectăm # Păcat ^ 2x # termeni.

Și voila:

# 1-4sin ^ 2x = 1-4sin ^ 2x #

Quod erat demonstrandum