De ce nu putem integra x ^ x?

Răspuns:

Nu avem o regulă pentru asta.

Explicaţie:

În integrale, avem reguli standard. Regula anti-lanț, regula anti-produs, regula anti-putere și așa mai departe. Dar nu avem unul pentru o funcție care are o funcție #X# atât în bază, cât și în putere. Putem să luăm derivate din ea bine, dar încercarea de a-și lua integral este imposibilă din cauza lipsei de reguli cu care ar funcționa.

Dacă deschideți Calculatorul Desmos Graphing, puteți încerca să conectați

# int_0 ^ x a ^ ada #

și o va arăta foarte bine. Dar dacă încercați să utilizați regulile anti-putere sau regulile anti-exponenți pentru a le împărți, veți vedea că acestea nu reușesc. Când am încercat să o găsesc (pe care încă lucrez), primul meu pas a fost să-l scot din această formă și în următoarele:

# Inte ^ (XLN (x)) dx #

Acest lucru ne permite, în esență, să folosim regulile de calcul puțin mai bine. Dar chiar și atunci când utilizați Integration by Parts, niciodată nu veți scăpa de integrale. Prin urmare, nu aveți de fapt o funcție pentru ao determina.

Dar, ca întotdeauna în Math, este distractiv să experimentăm.Deci, du-te și încercați, dar nu prea mult sau greu, veți fi sucked în această gaură de iepure.

Răspuns:

Vezi mai jos.

Explicaţie:

#y = x ^ x # pot fi integrate. De exemplu

# int_0 ^ 1 x ^ x dx = 0,783430510712135 … #

un alt lucru este să ai acum câteva zile, o funcție #f (x) # care reprezintă în formă închisă, primitivul pentru # X ^ x # sau cu alte cuvinte, astfel încât

# d / (dx) f (x) = x ^ x #

Dacă ar fi o funcție de uz comun în problemele tehnico-științifice, cu siguranță am fi inventat un nume și un simbol diferențiat pentru ao manipula. Ca și funcția Lambert definită ca

#W (x) = x e ^ x #

Răspuns:

Vedeți mai jos.

Explicaţie:

După cum a indicat Cesareo (fără să spună), există o ambiguitate în "nu putem integra".

Functia #f (x) = x ^ x # este continuu pe # (0, oo) #

și pe # 0, oo) # dacă facem #f (0) = 1 #, așa că hai să facem asta. Prin urmare, integral integrat

# int_a ^ b x ^ x dx # există pentru toți # 0 <= a <= b #

În plus, teorema fundamentală a calulusului ne spune că funcția # int_0 ^ x t ^ t dt # are derivate # X ^ x # pentru #x> = 0 #

Ceea ce nu putem face este să exprime această funcție într-o formă frumoasă, finită, închisă de expresii algebrice (sau chiar bine cunoscute funcții transcendentale).

Există multe lucruri în matematică care nu pot fi exprimate decât într-o formă care permite aproximări mai bune succesive.

De exemplu:

Numărul al cărui pătrat este #2# nu poate fi exprimată în formă zecimală sau fracționată, utilizând o expresie finită. Așa că îi dăm un simbol, # # Sqrt2 și apropiați-l de orice nivel dorit de precizie.

Raportul dintre circumferință și diametrul unui cerc nu poate fi exprimat finit folosind o combinație finită algebrică a numerelor întregi, așa că îi dăm un nume, # Pi # și apropiați-l de orice nivel dorit de precizie.

Soluția către # x = cosx # de asemenea, poate fi aproximat la orice grad de precizie dorit, dar nu poate fi exprimat finit. Acest număr este (poate) nu suficient de important pentru a fi dat un nume.

După cum a spus Cesareo, în cazul în care integrale de # X ^ x # a avut numeroase aplicații, matematicienii ar adopta un nume pentru el.

Dar calculele ar necesita în continuare aproximație infinită.