Rezolvați următoarea ecuație x ^ 8-10x ^ 4 + 9 = 0?

Răspuns:

# x = + -1, + -i, + -sqrt (3), + -sqrt (3)

Explicaţie:

Dat:

# X ^ 8-10x ^ 4 + 9 = 0 #

Rețineți că acest lucru este în mod efectiv unul patrat # X ^ 4 # ca astfel:

# (x ^ 4) ^ 2-10 (x ^ 4) +9 = 0 #

Putem face acest lucru pentru a găsi:

# 0 = (x ^ 4) ^ 2-10 (x ^ 4) +9 = (x ^ 4-1) (x ^ 4-9)

Fiecare dintre factorii quartici rămași este o diferență de pătrate, deci putem folosi:

# A ^ 2-B ^ 2 = (A-B) (A + B) #

a găsi:

# x ^ 4-1 = (x ^ 2) ^ 2-1 ^ 2 = (x ^ 2-1) (x ^ 2 + 1)

# x ^ 4-9 = (x ^ 2) ^ 2 - 3 ^ 2 = (x ^ 2-3)

Factorii quadrați rămași vor influența toate ca și diferențele de pătrate, dar trebuie să folosim coeficienți iraționali și / sau complexi pentru a face unele dintre ele:

(x-1) (x + 1) # x ^

# x ^ 2 + 1 = x ^ 2-i ^ 2 = (x-i) (x + i)

(x + sqrt (3)) (x + sqrt (3)) #

(x) (x + sqrt (3) i) (x + sqrt (3) i)

Prin urmare, zerourile polinomului octic original sunt:

# x = + -1, + -i, + -sqrt (3), + -sqrt (3)