Care este domeniul și intervalul f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4)?

Răspuns:

Domeniu: întreaga linie reală

Gamă: #-0.0757,0.826#

Explicaţie:

Această întrebare poate fi interpretată în două moduri. Ori ne așteptăm să ne ocupăm doar de linia reală # RR #, sau altfel și cu restul planului complex # CC #. Utilizarea #X# ca o variabilă înseamnă că avem de-a face doar cu linia reală, dar există o diferență interesantă între cele două cazuri pe care le voi remarca.

Domeniul # F # este întregul set numeric considerat minus orice puncte care determină funcția să explodeze până la infinit. Acest lucru se întâmplă atunci când numitorul # X ^ 2 + 4 = 0 #, adică atunci când # X ^ 2 = -4 #. Această ecuație nu are soluții reale, deci dacă lucrăm la linia reală, domeniul este întregul interval # (- oo, + oo) #. Dacă luăm în considerare limitele infinite ale funcției prin compararea termenilor conducători în numărător și numitor, vedem că la ambele infinități tinde la zero și astfel putem, dacă dorim să le adăugăm la acel interval pentru al închide: # - oo, + oo #.

Ecuația # X ^ 2 = -4 # are totuși două soluții complexe, #X = + - 2i #. Dacă luăm în considerare întregul plan complex, atunci domeniul este întregul plan minus aceste două puncte: # CC # # {+ - 2i} #. Ca și în cazul realelor, putem adăuga în infinit în mod similar, dacă dorim.

Pentru a determina intervalul de # F # trebuie să descoperim valorile sale maxime și minime asupra domeniului său. Vom vorbi numai în ceea ce privește realitățile acum, deoarece determinarea unui analog pe acestea față de planul complex este, în general, un alt tip de problemă care necesită instrumente matematice diferite.

Luați primul derivat prin regula cvasi:

#f '(x) = ((x ^ 2 + 4) -2x (x + 3)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 = (- x ^ 2-6x + 4) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

Functia # F # atinge fie un extremum, fie un punct de inflexiune când #f '(x) = 0 #, adică atunci când # -X ^ 2-6x + 4 = 0 #.

Rezolvăm acest lucru prin formula patratică:

# X = -1 / 2 (6 + -sqrt (52)) = - 3 + -sqrt (13) #. Funcția are două astfel de puncte.

Caracterizăm aceste puncte examinându-le valorile la al doilea derivat din # F #, pe care le luam, din nou prin regula de coeficient:

#f '' (x) = ((- 2x-6) (x ^ 2 + 4) ^ 2 - (- x ^ 2-6x + 4) * 4x (x ^ 2 + 4)) / (x ^ 2 4) ^ 4 #

# = (- 2 (x + 3) (x ^ 2 + 4) + 4x (x ^ 2 + 6x-4)) / (x ^ 2 + 4) ^ 3 #

Știm din primul calcul al rădăcinilor derivate că cel de-al doilea termen din numerotator este zero pentru aceste două puncte, deoarece setarea la zero este ecuația pe care tocmai am rezolvat-o pentru a găsi numerele de intrare.

Deci, observând asta # (- 3 + -sqrt (13)) ^ 2 = 22bar (+) 6sqrt (13) #:

#f '' (- 3 + -sqrt (13)) = (- 2 (-3 + -sqrt (13) 3) (22bar (+) 6sqrt (13) 4)) / (22bar (+) 6sqrt (13) 4) ^ 3 #

# = (Bar (+) 2sqrt (13) (26bar (+) 6sqrt (13))) / (26bar (+) 6sqrt (13)) ^ 3 #

Pentru a determina semnul acestei expresii, întrebăm dacă # 26> 6sqrt (13) #. Piața ambelor părți pentru a compara: #26^2=676#, # (6sqrt (13)) ^ 2 = 36 * 13 = 468 #. Asa de # 26-6sqrt (13) # este pozitiv (și # 26 + 6sqrt (13) # chiar mai mult).

Deci semnul întregii expresii se reduce la #bar (+) # în fața lui, ceea ce înseamnă că # X = -3-sqrt (13) # are #f '' (x)> 0 # (și este, prin urmare, o funcție minimă) și # X = -3 + sqrt (13) # are #f '' (x) <0 # (și este, prin urmare, o funcție maximă). După ce am observat că funcția tinde la zero la infinități, acum înțelegem forma funcției pe deplin.

Deci, acum pentru a obține intervalul, trebuie să calculam valorile funcției la punctele minime și maxime # X = -3 + -sqrt (13) #

Reamintește asta #f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #, Așadar

#f (-3 + -sqrt (13)) = (- 3 + -sqrt (13) +3) / (22bar (+) 6sqrt (13) 4) = (+ - sqrt (13)) / (26bar (+) 6sqrt (13)) #.

Deci, peste linia reală # RR # functia #f (x) # are valori în domeniu # - sqrt (13) / (26 + 6sqrt (13)), sqrt (13) / (26-6sqrt (13)) #, care, dacă evaluăm numeric, ajunge la #-0.0757,0.826#, la trei cifre semnificative, obținute la #X# valorile #-6.61# și #0.606# (3 s.f.)

Împărțiți graficul funcției ca verificare a sancțiunii:

Graficul {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -15, 4,816, -0,2, 1}

Răspuns:

Domeniu: #x în RR #

Gamă: #f (x) în -0.075693909, + 0.825693909 culoare (alb) ("xxx") # (aproximativ)

Explicaţie:

Dat

#color (alb) ("XXX") f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

Domeniu

domeniu sunt toate valorile #X# pentru care #f (x) # este definit.

Pentru orice funcție exprimată ca un polinom împărțit printr-un polinom, funcția este definită pentru toate valorile lui #X# unde polinomul divizor nu este egal cu zero. De cand # X ^ 2> = 0 # pentru toate valorile #X#, # X ^ 2 + 4> 0 # pentru toate valorile #X#; acesta este # ori! = 0 # pentru toate valorile #X#; funcția este definită pentru toate Real (# RR #) valori ale #X#.

Gamă

gamă este un pic mai interesant de dezvoltat.

Observăm că, dacă o funcție continuă are limite, derivatul funcției în punctele care duc la aceste limite este egal cu zero.

Deși unii dintre acești pași pot fi triviali, vom lucra prin acest proces de la principii destul de fundamentale pentru derivate.

1 Regulă exponent pentru derivate

Dacă #f (x) = x ^ n # atunci # (df (x)) / (dx) = nx ^ (n-1) #

2 Regula de sumă pentru derivate

Dacă #f (x) = r (x) + s (x) # atunci # d (x)) / (dx) = (d r (x)) / (dx)

3 Regula de produs pentru derivate

Dacă #f (x) = g (x) * h (x) # atunci (dx (x)) / (dx) = d (x)) / (dx)

4 Regula de lant pentru derivate

Dacă #f (x) = p (q (x)) # atunci (d (x)) / (dx) = (dq (x)) / (dq (x)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Pentru funcția dată #f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

observăm că aceasta poate fi scrisă ca #f (x) = (x + 3) * (x ^ 2 + 4) ^ (- 1) #

Până la 3 știm

Culoare (albastru) ("XXX") culoare (roșu) (df (x)) / (dx) ((x ^ 2 + 4) ^ (- 1)) + culoare (albastru) ((x + 3)) / (dx)) #

Prin 1 avem

(dx) = (dx) / (dx) + (d (x * x ^ 0)) / (dx) #

și de către 2

#color (alb) ("XXX") culoare (var) ((d (x + 3)) / (dx)) = 1 + 0 = culoare (var) (1) #

Prin 4 avem

(d (x + 4) ^ (- 1)) / (dx)) = (d (x + 4) (x + 4)) * (d (x + 4)) / (dx) #

și de către 1 și 2

#color (alb) ("XXXXXXXX") = - 1 (x ^ 2 + 4) ^ (- 2)

sau, simplificat:

#color (alb) ("XXXXXXXX") = culoare (magenta) (- (2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)) #

oferindu-ne

#color (alb) ("XXX") culoare (roșu) ((df (x)) / (dx)) = culoarea verde 1 * culoarea albastră ((x + 4) ^) + culoarea (albastru) ((x + 3)) * culoarea (magenta) ((2x) / ((x ^ 2 + 4)

care pot fi simplificate ca

# (culoare) (alb) ("XXX") culoare (roșu) (d (x)) / (dx)

Așa cum am notat (înapoi), aceasta înseamnă că valorile limită vor avea loc când

#color (alb) ("XXX") (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) = 0 #

#color (alb) ("XXX") rArr -x ^ 2-6x + 4 = 0 #

apoi folosind formula patratică (a se vedea acest lucru, Socratic se plânge deja de lungimea acestui răspuns)

cand

#color (alb) ("XXX") x = -3 + -sqrt (13) #

Mai degrabă decât să prelungească agonia, vom conecta pur și simplu aceste valori în calculatorul nostru (sau foaia de calcul, așa este și eu) pentru a obține limitele:

#color (alb) ("XXX") f (-3-sqrt (13)) ~~ -0.075693909 #

și

#color (alb) ("XXX") f (-3 + sqrt (13)) ~~ 0.825693909 #

Răspuns:

O modalitate mai simplă de a găsi gama. Domeniul este #x în RR #. Domeniul este #y în -0.076, 0.826 #

Explicaţie:

Domeniul este #x în RR # la fel de

#AA x în RR #, numitorul # X ^ 2 + 4> 0 #

Lăsa # Y = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

Cruce multiplica

#=>#, #Y (x ^ 2 + 4) = x + 3 #

# Yx ^ 2-x + 4y-3 = 0 #

Aceasta este o ecuație patratică în #X#

Există soluții dacă discriminatorii #Delta> = 0 #

#Delta = (- 1) ^ 2-4 * (y) (4y-3) = 1-16y ^ 2 + 12y #

Prin urmare, # 1-16y ^ 2 + 12y> = 0 #

#=>#, # 16y ^ 2-12 ani-1 <= 0 #

Soluțiile acestei inegalități sunt

# y în (12-sqrt ((- 12) ^ 2-4 * (- 1) * 16)) / (32) 1) * 16)) / (32) #

#y în (12-sqrt (208)) / 32, (12 + sqrt (208)) / 32 #

#y în -0.076, 0.826 #

Graficul {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -6,774, 3,09, -1,912, 3,016}