Folosind definiția convergenței, cum se dovedește că secvența {2 ^ -n} converge de la n = 1 la infinit?

Folosind definiția convergenței, cum se dovedește că secvența {2 ^ -n} converge de la n = 1 la infinit?
Anonim

Răspuns:

Utilizați proprietățile funcției exponențiale pentru a determina N, cum ar fi # | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon # pentru fiecare # m, n> N #

Explicaţie:

Definiția convergenței prevede că #{un}# converg dacă:

#AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon #

Deci, dat #epsilon> 0 # lua #N> log_2 (1 / epsilon) # și # m, n> N # cu #m <n #

La fel de #m <n #, # (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 # asa de 2 - (- m) - 2 - (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n)

(-) - 2 (- n) = 2 (- m)

Acum ca # 2 ^ x # este întotdeauna pozitivă, # (L-2 ^ (m-n)) <1 #, asa de

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m)

Si ca # 2 ^ (- x) # este strict în scădere și #m> N> log_2 (1 / epsilon) #

(-) 2 (-) - (2) - (2)

Dar:

# 2 (- log_2 (1 / epsilon)) = 2 ^ (log_2 (epsilon)) = epsilon #

Asa de:

2 - (- m) - 2 - (- n) | <epsilon #

Quod erat demonstrandum