Răspuns:
Utilizați proprietățile funcției exponențiale pentru a determina N, cum ar fi
Explicaţie:
Definiția convergenței prevede că
Deci, dat
La fel de
Acum ca
Si ca
Dar:
Asa de:
Quod erat demonstrandum
Folosind definiția convergenței, cum se dovedește că secvența {5+ (1 / n)} converge de la n = 1 la infinit?
Fie: a_n = 5 + 1 / n atunci pentru orice m, n în NN cu n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) ca n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n și ca 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Având un număr real epsilon> 0, alegeți apoi un număr întreg N> 1 / epsilon. Pentru orice numere întregi m, n> N avem: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon care dovedește condiția Cauchy pentru convergența unei secvențe.
Folosind definiția convergenței, cum se dovedește că secvența lim 1 / (6n ^ 2 + 1) = 0 converge?
Având orice număr epsilon> 0 alegeți M> 1 / sqrt (6 epsilon), cu M în NN. Apoi, pentru n> = M avem: 6n ^ 2 + 1> 6n ^ 2> 6M ^ 2> = 6 / (6epsilon) = 1 / epsilon și astfel: 1) epsilon care dovedește limita.
Cum determinați dacă integritatea necorespunzătoare converge sau diverge int 1 / [sqrt x] de la 0 la infinit?
Integralul diverge. Am putea folosi testul de comparație pentru integrale necorespunzătoare, dar în acest caz integratul este atât de simplu de evaluat încât putem să îl calculam și să vedem dacă valoarea este limitată. int_0 ^ oo1 / sqrtx dx = int_0 ^ oox ^ (- 1/2) = [2sqrtx] _0 ^ oo = lim_ (x-> oo) (2sqrtx) -2sqrt (0) = lim_ 2sqrtx) = oo Aceasta înseamnă că diferența integrală.