Lăsa:
#a_n = 5 + 1 / n #
apoi pentru oricine # m, n în NN # cu #n> m #:
#abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 /
#abs (a_m-a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) #
#abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) #
la fel de #n> m => 1 / n <1 / m #:
#abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n #
si ca # 1 / n> 0 #:
#abs (a_m-a_n) <1 / m #.
Dat fiind un număr real #epsilon> 0 #, alege apoi un număr întreg #N> 1 / epsilon #.
Pentru orice număr întreg # m, n> N # noi avem:
#abs (a_m-a_n) <1 / N #
#abs (a_m-a_n) <epsilon #
care demonstrează condiția lui Cauchy pentru convergența unei secvențe.
