Care este ecuația parabolului cu focalizare la (5,3) și o direcție directă de y = -12?

Răspuns:

# Y = x ^ 2/30 x / 3-11 / 3 #

Explicaţie:

Definiția unei parabole afirmă că toate punctele de pe parabolă au întotdeauna aceeași distanță față de focalizare și directrix.

Putem lăsa # P = (x, y) #, care va reprezenta un punct general asupra parabolei, putem să lăsăm # F = (5,3) # reprezintă focalizarea și # D = (x, -12) # reprezintă punctul cel mai apropiat de direcția directă, #X# se datorează faptului că cel mai apropiat punct al directrix-ului este întotdeauna drept în jos.

Acum putem configura o ecuație cu aceste puncte. Vom folosi formula de distanță pentru a determina distanțele:

# D = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Putem aplica acest lucru punctele noastre pentru a obține mai întâi distanța dintre # P # și # F #:

#d_ (PF) = sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2) #

Atunci vom distanța între ele # P # și # D #:

#d_ (PD) = sqrt ((x-x) ^ 2 + (y - (- 12)) ^ 2) #

Deoarece aceste distanțe trebuie să fie egale una cu alta, le putem pune într-o ecuație:

= Sqrt #sqrt (^ 2 + (y-3) ^ 2 (x-5)) ((y + 12) ^ 2) #

De la punctul # P # este în formă generală și poate reprezenta orice punct al parabolei, dacă putem rezolva # Y # în ecuație, vom fi lăsați cu o ecuație care ne va da toate punctele pe parabola, sau cu alte cuvinte va fi ecuația parabolei.

În primul rând, ne vom ocupa de ambele părți:

# (Sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2)) ^ 2 = (sqrt ((y + 12) ^ 2)) ^ 2 #

# (X-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = (y + 12) ^ 2 #

Putem apoi extinde:

# X ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-6y + 9 = y ^ 2 + 24y + 144 #

Dacă punem totul pe stânga și se colectează ca niște termeni, ajungem:

# X ^ 2-10x-110-30y = 0 #

# 30y = x ^-2-10x 110 #

# Y = x ^ 2 / 30- (10x) / 30-110 / 30 #

# Y = x ^ 2/30 x / 3-11 / 3 #

care este ecuația parabolei noastre.