Rezolvă următoarea ecuație: (x ^ 2-2) / 3 + ((x ^ 2-1) / 5) ^ 2 = 7/9 (x ^ 2-2)?

Răspuns:

# X = -sqrt11, -sqrt19 / 3, sqrt19 / 3, sqrt11 #

Această explicație oferă o metodă destul de aprofundată de determinare a etapelor de identificare a eventualelor factori în care să se rescrie o ecuație tip quadratic, astfel încât să poată fi rezolvată fără ecuația cuadratoare și / sau un calculator.

Explicaţie:

Mai întâi păstrați termenul din partea stângă a ecuației.

# (X ^ 2-2) / 3 + (x ^ 2-1) ^ 2/25 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Extindeți binomul pătrat. Reamintește asta # (X ^ 2-1) ^ 2 = (x ^ 2-1) (x ^ 2-1) #.

# (X ^ 2-2) / 3 + (x ^ 4.2x ^ 2 + 1) / 25 = 7/9 alineatele (x ^ 2-2) #

Putem elimina fracțiile prin înmulțirea ecuației cu cel mai puțin numitor comun al lui #3,25,# și #9,# care este #225#.

Rețineți că #225=3^2*5^2#, asa de #225/3=75#, #225/25=9#, și #225/9=25#.

Înmulțire prin #225# dă:

# 75 (x ^ 2-2) 9 (x ^ 4.2x ^ 2 + 1) = 25 (7) (x ^ 2-2) #

Distribuiți fiecare constantă multiplicativă.

# 75x ^ 2-150 + 9x ^ 4-18x ^ 2 + 9 = 175x ^ 2-350 #

Mutați toți termenii într-o parte și reordonați ecuația.

# 9x ^ 4-118x ^ 2 + 209 = 0 #

Acest lucru are potențialul de a fi factori: lipsa # X ^ 3 # și #X# înseamnă că acest lucru poate fi luat în considerare în formă # (X ^ 2 + a) (x ^ 2 + b) #.

Pentru a testa factorii, rețineți că ar trebui să găsim o pereche de numere întregi a căror produs este produsul primilor și ultimilor coeficienți, care este # 9xx209 = ^ 2 * 3 11 * 19 #. Aceleași numere întregi al căror produs este #3^2*11*19# ar trebui să aibă o sumă de #-118#.

Întrucât produsul este pozitiv și suma este negativă, știm că ambele sunt întregi pozitivi.

Trucul este acum de a găsi o combinație de numere care provine #3^2*11*19# a cărui sumă este #118#. (Dacă găsim versiunea pozitivă, putem schimba cu ușurință ambele numere în forma lor negativă.)

Ar trebui să încercăm să prezentăm grupuri de factori #3^2*11*19# care nu depășesc #118#.

Putem elimina în mod preventiv posibilitatea de a #3^2*19# și #11*19# care apar fie ca unul dintre cele două numere întregi, deoarece ambele sunt mai mari decât #118#. Astfel, dacă ne concentrăm #19# deoarece este cel mai mare factor, știm că va exista doar ca unul #19# sau #3*19#.

Deci, singurele noastre două opțiuni pentru numerele întregi sunt:

(19, "", 3 ^ 2 * 11 = 99, "", 118), (19) * 3 = 57, "", 3 * 11 = 33, "", 90): #

De aici perechea de numere al căror produs este #3^2*11*19# și suma este #118# este #19# și #99#.

Din aceasta putem scrie caracterele ca:

# 9x ^ 4-118x ^ 2 + 209 = 9x ^ 4-99x ^ 2-19x ^ 2 + 209 #

Factor după grup:

# 9x ^ 2 (x ^ 2-11) -19 (x ^ 2-11) = (9x ^ 2-19) (x ^ 2-11) = 0 #

Împărțiți acest lucru în două ecuații:

# 9x ^ 2-19 = 0 "" => "" x ^ 2 = 19/9 "" =

# x ^ 2-11 = 0 "" => "" x ^ 2 = 11 "" => "

Răspuns:

Ecuațiile cu fracțiuni arată întotdeauna mai rău decât sunt. Atâta timp cât aveți o ecuație și nu o expresie, puteți să scăpați de numitorii prin multiplicarea prin LCM a numitorilor.

Explicaţie:

# (x ^ 2-2) / 3 + ((x ^ 2-1) / 5) ^ 2 = 7/9 (x ^

Să începem prin împărțirea numitorului în al doilea termen.

# (x ^ 2-2) / 3 + ((x ^ 2-1) ^ 2) / 25 = 7/9 (x ^

Acum multiplicați fiecare termen cu 225 pentru a anula numitorii.

# ((x ^ 2-2)) / cancel3 + anulează (225) ^ 9 ((x ^ 2-1) ^ 2) 2-2) #

# 75 (x ^ 2-2) + 9 (x ^ 2-1) ^ 2 = 175 (x ^ 2-2) #

Acesta este în mod clar un patrat, astfel încât să fie egal cu 0.

# 75 (x ^ 2-2) + 9 (x ^ 2-1) ^ 2-175 (x ^ 2-2) = 0 #

Observați că primul și al treilea termen sunt ca niște termeni, așa că le putem adăuga împreună. De asemenea, păstrează termenul de mijloc.

# 9 (x ^ 4 - 2x ^ 2 +1) -100 (x ^ 2 -2) + = 0 #

Îndepărtați parantezele după legea distributivă:

# 9x ^ 4 - 18x ^ 2 + 9 -100x ^ 2 + 200 = 0 #

Simplifica: # 9x ^ 4 - 118x ^ 2 + 209 = 0 #

Explorarea factorilor de la 9 și 209 duce la

9 = 3x3 sau 9x1 și 209 = 11 x 19

Combinația de factori care adaugă 118 este de 99 + 19

Factorizarea oferă # (x ^ 2 - 11) (9x ^ 2- 19) = 0 #

Dacă # x ^ 2 - 11 = 0 #

# x ^ 2 = 11 #

# x = + -sqrt11 #

Dacă # 9x ^ 2-9 = 0 #

# 9x ^ 2 = 19 #

# x ^ 2 = 19/9 #

# x = (+ -sqrt19) / 3 #