Rezolvați următoarea ecuație în numere naturale: x² + y² = 1997 (x-y)?

Răspuns:

# (x, y) = (170,145) # sau # (x, y) = (1817, 145) #

Explicaţie:

Următoarea dovadă se bazează pe cea din cartea "Introducere în ecuațiile diofantine: o abordare bazată pe probleme" de Titu Andreescu, Dorin Andrica, Ion Cucurezeanu.

Dat:

# X ^ 2 + y ^ 2 = 1997 (x-y) #

Lăsa # a = (x + y) # și #b = (1997-x + y) #

Atunci:

# a ^ 2 + b ^ 2 = (x + y) ^ 2 + (1997-x + y) ^ 2 #

# = X ^ 2 + y ^ 2xy + 2 + 1997 ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2-2 (1997 (xy) + xy) #

# = X ^ 2 + y ^ 2xy + 2 + 1997 ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2-2 (x ^ 2 + y ^ 2 + xy) #

#=1997^2#

De aici găsim:

# {(0 <a = x + y <1997), (0 <b = 1997-x + y <1997)

De cand #1997# este prim, #A# și # B # nu au un factor comun mai mare decât #1#.

De aici există numere întregi pozitive #m, n # cu #m> n # și nici un factor comun mai mare decât #1# astfel încât:

(XX) "sau" culoare (albă) (XX) ", (a = 2mn) {(1997 = m ^ 2 + n ^ 2), (a = m ^ 2-n ^ 2)

Uitandu-ma la # 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # în mod #3# și mod #5# aritmetică, găsim:

# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (mod #3#) prin urmare #m - = + -1 # și #n - = + -1 # (mod #3#)

# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (mod #5#) prin urmare #m - = + -1 # și #n - = + -1 # (mod #5#)

Asta înseamnă că singurele posibilități pentru #m, n # modulo #15# sunteți #1, 4, 11, 14#.

În plus, rețineți că:

# m ^ 2 în (1997/2, 1997) #

De aici:

#m în (sqrt (1997/2), sqrt (1997)) ~~ (31,6, 44,7) #

Deci, singurele posibilități pentru # M # sunteți #34, 41, 44#

Găsim:

#1997 - 34^2 = 841 = 29^2#

#1997 - 41^2 = 316# nu este un pătrat perfect.

#1997 - 44^2 = 61# nu este un pătrat perfect.

Asa de # (m, n) = (34,29) #

Asa de:

# (a, b) = (2mn, m ^ 2-n ^ 2) = (1972, 315)

# (a, b) = (m ^ 2-n ^ 2, 2mn) = (315, 1972)

#culoare albă)()#

Dacă # (a, b) = (1972, 315) # atunci:

# {(x + y = 1972), (1997-x + y = 315): #

și, prin urmare:

# (x, y) = (1817, 145) #

#culoare albă)()#

Dacă # (a, b) = (315, 1972) # atunci:

# {(x + y = 315), (1997-x + y = 1972)

și, prin urmare:

# (x, y) = (170,145) #