Care este vectorul unitar care este ortogonal față de planul care conține (-i + j + k) și (3i + 2j - 3k)?

Răspuns:

Există aici două vectori de unități, în funcție de ordinea de operare. Sunt # (- 5i + 0j - 5k) # și # (5i + 0j 5k) #

Explicaţie:

Când luați produsul încrucișat al a doi vectori, calculați vectorul care este ortogonal la primele două. Cu toate acestea, soluția # # VecAoxvecB este de obicei egal și opus în magnitudinea lui # # VecBoxvecA.

Ca o reîmprospătare rapidă, un produs încrucișat de # # VecAoxvecB construiește o matrice 3x3 care arată ca:

# | i j k |

# | A_x A_y A_z | #

# | B_x B_y B_z | #

și obțineți fiecare termen luând produsul termenilor diagonali mergând de la stânga la dreapta, pornind de la o literă vectorială dată (i, j sau k) și scăzând produsul termenilor diagonali de la dreapta la stânga, începând de la aceeași literă vectorală a unității:

# (A_yxxB_z-A_zxxB_y) i + (A_zxxB_x-AxxxxBz) j + (A_x xxB_y-A_yxxB_x) k #

Pentru cele două soluții, permiteți setarea:

#vecA = - i + j + k #

# VecB = 3i + 2j-3k #

Să examinăm ambele soluții:

# # VecAoxvecB

După cum sa menționat mai sus:

# vecAoxvecB = (A_yxxB_z-A_zxxB_y) + (A_zxxB_x-A_x xxBz) j + (A_x xxB_y-A_yxxB_x) k #

# vecAoxvecB = (1xx (-3) -1xx2) i + (1xx3 - (- 1) xx (-3)) j + (- 1 xx2-1xx3)

#vecAoxvecB = (- 3-2) i + (3-3) j + (- 2-3) k #

#color (roșu) (vecAoxvecB = -5i + 0J-5k #

# # VecBoxvecA

Ca o flip la prima formula, ia diagonalele din nou, dar matricea este format diferit:

# | i j k |

# | B_x B_y B_z | #

# | A_x A_y A_z | #

# vecBoxvecA = (A_zxxB_y-A_yxxB_z) i + (A_xxxB_z-AzzxxBx) j + (A_y xxB_x-Ax xxB_y) k #

Observați că subtrațiile sunt rotite în jur. Aceasta este cauza cauzată de forma "egală și opusă".

####################################################################################### #

# VecBoxvecA = (2 - (- 3)) i + (3-3) j + (3 - (- 2)) k #

#color (albastru) (vecBoxvecA = 5i + 0J + 5k #

Care este vectorul unitar care este ortogonal față de planul care conține (i + j - k) și (i - j + k)?

Știm că dacă vec C = vec A × vec B atunci vec C este perpendicular pe ambele vec A și vec B Deci, ceea ce avem nevoie este doar pentru a găsi produsul încrucișat al celor două vectori date. Deci, vectorul unitar este (-2) (hat + hatj-hatk) × (hati-hatj + hatk) = hatk-hatj-hatk + hati-hatj-i = hatj) / sqrt (2 ^ 2 + 2 ^ 2)) = - (hatk + hatj) / sqrt (2)

Care este vectorul unitar care este ortogonal față de planul care conține <0, 4, 4> și <1, 1, 1>?

Răspunsul este = <0,1 / sqrt2, -1 / sqrt2> Vectorul care este perpendicular pe 2 alte vectori este dat de produsul încrucișat. <0,4,4> x <1,1,1> = (hati, hatj, hatk), (0,4,4), (1,1,1) | = hati (0) -hatj (-4) + hatk (-4) = <0,4, -4> Verificarea prin realizarea produselor dot <0,4,4>. + 16-16 = 0 <1,1,1> <0,4, -4> = 0 + 4-4 = 0 Modulul <0,4, -4> este = <0,4, - 4> = sqrt (0 + 16 + 16) = sqrt32 = 4sqrt2 Vectorul unitar se obține împărțind vectorul cu modulul = 1 / (4sqrt2) <0,4, -4> = < -1 / sqrt2>

Care este vectorul unitar care este ortogonal față de planul care conține (3i + 2j - 3k) și (i -2j + 3k)?

Răspunsul este = <0, -3 / sqrt13, -2 / sqrt13> Facem un produs încrucișat pentru a găsi vectorul ortogonal față de plan Vectorul este dat de determinant | (hati, hatj, hatk), (3, 2, -3), (1, -2,3) | = hati (6-6) -hatj (9--3) + hatk (-6-2) = <0, -12, -8> Verificarea prin realizarea produsului punct <0, -12, -8>. < 3,2, -3> = 0-24 + 24 = 0 <0, -12, -8>. <1, -2,3> = 0 + 24-24 = 0 Vectorul este ortogonal față de celelalte 2 vectori Vectorul unitar este obținut prin împărțirea prin modulul <0, -12, -8> = sqrt (0 + 144 + 64) = sqrt208 = 4sqrt13 Unitatea vectorului Thre este =