Fie S un patrat al zonei unitare. Considerați orice quadrilateral care are un vertex pe fiecare parte a lui S. Dacă a, b, c și d denotă lungimea laturilor patrulaterului, dovedește că 2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 <= 4?

Lăsa # ABCD # fie un pătrat de zonă unitate.

Asa de # AB = BC = CD = DA = 1 # unitate.

Lăsa # # PQRS să fie un patrulater care are un vertex pe fiecare parte a pătratului. Aici lăsați # PQ = b, QR = c, RS = dandSP = o #

Aplicând Pythagoras thorem putem scrie

# A ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 #

# = X ^ 2 + y ^ 2 + (1-x) ^ 2 + (1-w) ^ 2 + w ^ 2 + (1-z) ^ 2 + z ^ 2 + (1-y) ^ 2 #

# = 4 + 2 (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2-x-y-z-w) #

# = 2 + 2 (1 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2-x-y-z-w) #

# = 2 + 2 ((x-1/2) ^ 2 + (y-1/2) ^ 2 + (z-1/2) ^ 2 + (w-1/2) ^ 2) #

Acum, prin problema pe care o avem

# 0 <= x <= 1 => 0 <= (x-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= y <= 1 => 0 <= (y-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= z <= 1 => 0 <= (z-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= w <= 1 => 0 <= (w-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

prin urmare

# 2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 <= 4 #