Dacă o ^ 3 + b ^ 3 = 8 și a ^ 2 + b ^ 2 = 4 care este valoarea lui (a + b)?

Răspuns:

Există două valori posibile pentru suma, # A + b = 2 # (pentru # A = 2 # și # B = 0 #) sau # A + b = -4 # (pentru # a = -2 + i sqrt {2}, ## b = -2 - i sqrt {2}) #

Explicaţie:

Există cu adevărat două necunoscute, suma și produsul #A# și # B, # așa că lăsați # x = a + b # și #y = ab #.

# x ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = 2y + 4 #

(a + b) ^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3ab (a + b) = 8 +

Două ecuații din două necunoscute, # 2y = x ^ 2 -4 #

# 2x ^ 3 = 16 + 3x (2y) = 16 + 3x (x ^ 2-4) #

# x ^ 3 -12 x + 16 = 0 #

Se numește un cubic deprimat, iar acelea au o soluție destul de ușoară închisă, ca și formula quadratică. Dar, mai degrabă decât să atingem acest lucru, să presupunem o rădăcină prin metoda timpului onorat de a încerca numere mici. V-om vedea # X = 2 # funcționează așa # (X-2) # este un factor.

# x ^ 3 -12 x + 16 = (x-2) (x ^ 2 - 2x + 8) = 0 #

Putem acum un factor suplimentar

(x-2) (x-2) (x + 4) = (x-2) ^ 2 (x + 4) = 0 #

Deci există două valori posibile pentru suma, # A + b = 2 # și # A + b = -4. #

Primul răspuns corespunde soluției reale # a = 2, b = 0 # și prin simetrie # a = 0, b = 2 #. Al doilea răspuns corespunde cu suma unei perechi de conjugate complexe. sunt # a, b = -2 i pm sqrt {2} #. Puteți verifica această soluție?

Răspuns:

# (a + b) = 2 sau, a + b = -4 #

Explicaţie:

# "" a ^ 2 + b ^ 2 = 4 #

# => (A + b) ^ 2-2ab = 4 #

# => 2ab = (a + b) ^ 2-4 #

# => Ab = ((a + b) ^ 2-4) / 2 #

Acum,

# "" a ^ 3 + b ^ 3 = 8 #

# => (A + b) (a ^ 2-ab + b ^ 2) = 8 #

# => (A + b) Acid (4-ab) = 8 #

# => (A + b) {4 - ((a + b) ^ 2-4) / 2} = 8 #

# => (A + b) {6 - ((a + b) ^ 2) / 2} = 8 #

Lăsa,

# (A + b) = x #

Asa de, # => X (6-x ^ 2/2) = 8 #

# => X (12-x ^ 2) = 16 #

# => X ^ 3-12x + 16 = 0 #

Observați asta #2^3-12*2+16=8-24+16=0#

#:. (X-2) # este un factor.

Acum, # X ^ 3-12x + 16 = pl (x ^ 3-2x ^ 2) + ul (2x ^ 2-4x) -ul (8x + 16) #,

# = X ^ 2 (x-2) + 2x (x-2) -8 (x-2) #, (X ^ 2 + 2x-8) # # = (x-2), (X + 4) (x-2) # # = (x-2).

#: x ^ 3-12x + 16 == 0 rArr x = 2, sau, x = -4 #.

#:. a + b = 2 sau, a + b = -4 #.

Graficul este dat aici.

Valoarea a #color (roșu) ((a + b) = 2 sau -4. #

Sper ca ajuta…

Mulțumesc…