Care este valoarea minimă a g (x) = x / csc (pi * x) pe intervalul [0,1]?

Răspuns:

Există o valoare minimă de #0# localizat atât la # X = 0 # și # X = 1 #.

Explicaţie:

În primul rând, putem scrie imediat această funcție ca

#G (x) = x / (1 / sin (pix)) = xsin (pix) #

Reamintind asta #csc (x) = 1 / sin (x) #.

Acum, pentru a găsi valori minime într-un interval, recunoașteți că acestea pot apărea fie la punctele finale ale intervalului, fie la orice valori critice care apar în intervalul respectiv.

Pentru a găsi valorile critice în intervalul, setați derivatul funcției egal cu #0#.

Și, pentru a diferenția funcția, va trebui să folosim regulă de produs. Aplicarea regulii de produs ne oferă

#G '(x) = sin (pix) d / dx (x) + xd / dx (sin (pix)) #

Fiecare dintre aceste derivați dă:

# D / dx (x) = 1 #

Și, prin lanț regulat:

# D / dx (sin (pix)) = cos (pix) * underbrace (d / dx (pix)) _ (= pi) = picos (pix) #

Combinând acestea, vedem asta

#G '(x) = sin (pix) + pixcos (pix) #

Astfel, valori critice vor apărea ori de câte ori

#sin (pix) + pixcos (pix) = 0 #

Nu putem rezolva acest lucru algebric, deci folosiți un calculator pentru a găsi toate zerourile acestei funcții în intervalul dat #0,1#:

grafice {sin (pix) + pixcos (pix) -.1, 1.1, -3, 2.02}

Cele două valori critice din interval sunt: # X = 0 # și # # Xapprox0.6485.

Deci, știm că valoarea minimă a #G (x) # ar putea apărea la #3# locuri diferite:

• # X = 0 # sau # X = 1 #, punctele finale ale intervalului
• # X = 0 # sau # X = 0.6485 #, valorile critice din interval

Acum, conectați fiecare dintre aceste valori posibile în intervalul:

# {(G (0) = 0, culoare (roșu) text (minimum)), (g (0.6485) = 0.5792, culoare (albastru) text (maxim)), (g (1) = 0, culoare (roșu) text (minim)):} #

Deoarece există două valori care sunt la fel de scăzute, există minimum atât la # X = 0 # și # X = 1 #. Rețineți că, chiar dacă am trecut prin găsirea problemei # X = 0.6485 #, nu a fost nici măcar un minim.

Graphed este #G (x) # pe interval #0,1#:

grafice {x / csc (pix) -.05, 1.01, -.1,.7}

De asemenea, rețineți că valoarea minimă este #0#, de cand #G (0) = g (1) = 0 #. Distincția este aceea # X = 0 # și # X = 1 # sunt locațiile minimelor.