Fie 5a + 12b și 12a + 5b lungimile laterale ale unui triunghi dreptunghiular și 13a + kb să fie hypotenuse, unde a, b și k sunt numere întregi pozitive. Cum găsiți cea mai mică valoare posibilă a k și cele mai mici valori ale lui a și b pentru k?

Răspuns:

#k = 10 #, # A = 69 #, # B = 20 #

Explicaţie:

Prin teorema lui Pythagoras avem:

# (13a + kb) ^ 2 = (5a + 12b) ^ 2 + (12a + 5b) ^ 2 #

Acesta este:

# 169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2 = 25a ^ 2 + 120ab + 144b ^ 2 + 144a ^ 2 + 120ab + 25b ^

#color (alb) (169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2) = 169a ^ 2 + 240ab + 169b ^ 2 #

Scoateți partea stângă din ambele capete pentru a găsi:

# 0 = (240-26k) ab + (169-k ^ 2) b ^ 2 #

#color (alb) (0) = b ((240-26k) a + (169-k ^ 2) b)

De cand #b> 0 # cerem:

# (240-26k) a + (169-k ^ 2) b = 0 #

Apoi de atunci #a, b> 0 # cerem # (240-26k) # și # (169-k ^ 2) # să aibă semne opuse.

Cand #k în 1, 9 # ambii # # 240-26k și # 169-K ^ 2 # sunt pozitive.

Cand #k în 10, 12 # găsim # 240-26k <0 # și # 169-k ^ 2> 0 # după cum este necesar.

Deci, valoarea minimă posibilă # # K este #10#.

Atunci:

# -20a + 69b = 0 #

Apoi de atunci #20# și #69# nu au un factor comun mai mare decât #1#, valorile minime ale #A# și # B # sunteți #69# și #20# respectiv.