Dovadați că curbele x = y ^ 2 și xy = k sunt tăiate dreptunghiulare dacă 8k ^ 2 = 1?

Răspuns:

#-1#

Explicaţie:

# 8k ^ 2 = 1 #

# k ^ 2 = 1/8 #

#k = sqrt (1/8) #

# x = y ^ 2 #, #xy = sqrt (1/8) #

cele două curbe sunt

# x = y ^ 2 #

și

# x = sqrt (1/8) / y sau x = sqrt (1/8) y ^ -1 #

pentru curba # x = y ^ 2 #, derivatul cu privire la # Y # este # # 2y.

pentru curba # x = sqrt (1/8) y ^ -1 #, derivatul cu privire la # Y # este # -Sqrt (1/8) y ^ -2 #.

punctul în care se întâlnesc cele două curbe este atunci când # y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 3 = sqrt (1/8) #

#y = sqrt (1/2) #

de cand # x = y ^ 2 #, # x = 1/2 #

punctul la care se întâlnesc curbele este # (1/2, sqrt (1/2)) #

cand #y = sqrt (1/2) #, # 2y = 2sqrt (1/2) #.

gradientul tangentei la curbă # x = y ^ 2 # este # 2sqrt (1/2) sau 2 / (sqrt2) #.

cand #y = sqrt (1/2) #, # -sqrt (1/8) y ^ -2 = -2sqrt (1/8) #.

gradientul tangentei la curbă #xy = sqrt (1/8) # este # -2sqrt (1/8) sau -2 / (sqrt8) #.

# (2 / sqrt2) * -2 / (sqrt * 8) = -4 / (sqrt16) = -4/4 = -1 #

Căutăm o condiție # # K astfel încât curbele # X = y ^ 2 # și # Xy = k # "tăiat în unghi drept". Din punct de vedere matematic, curbele trebuie să fie ortogonale, ceea ce înseamnă, la rândul lor, că în toate punctele tangentele la curbele orice punctul dat sunt perpendiculare.

Dacă vom examina familia de curbe pentru diferite valori ale lui # # K primim:

Observăm imediat că căutăm un singur punct în care tangenta este perpendiculară, astfel încât, în general, curbele nu sunt ortogonale în toate punctele.

Mai întâi să găsim singur coordona, # P #, a punctului de intersecție, care este soluția simultană a:

# {(y ^ 2 = x, …… A), (xy = k, …… B):

Înlocuind Eq A în B primim:

# (y ^ 2) y = k => y ^ 3 = k => y = rădăcină (3)

Și astfel stabilim coordonatele de intersecție:

# P (k ^ (2/3), k ^ (1/3)) #

De asemenea, avem nevoie de gradientele tangentelor la această coordonată. Pentru prima curbă:

# y ^ 2 = x => 2y dy / dx = 1 #

Deci, gradientul tangentei, # # M_1, la prima curbă la # P # este:

(1/3)) m_1 = 1 => m_1 = 1 / (2k ^ (1/3)) = 1 / 2k ^ (- 1/3)

În mod similar, pentru a doua curbă:

# xy = k => y = k / x => dy / dx = -k / x ^ 2 #

Deci, gradientul tangentei, # # M_2, la a doua curbă la # P # este:

# m_2 = -k / (k ^ (2/3)) ^ 2 #

# = -k ^ (- 1/3) #

Dacă aceste două tangente sunt perpendiculare, atunci cerem ca:

# m_1m_2 = -1 #

#:. (1 / 2k ^ (- 1/3)) (-k ^ (- 1/3)) = -1 #

#:. k ^ (- 2/3) = 2 #

#:. (k ^ (- 2/3)) ^ (3/2) = 2 ^ (3/2) #

#:. k ^ (- 1) = 2 ^ (3/2) #

#:. (1 / k) ^ 2 = 2 ^ 3 #

#:. 1 / k ^ 2 = 8 #

Conducerea la rezultatul dat:

# 8k ^ 2 = 1 # QED

Și cu această valoare # # K