Care sunt posibilele rădăcini raționale x ^ 5 -12x ^ 4 + 2 x ^ 3 -3x ^ 2 + 8x-12 = 0?

Răspuns:

Acest chintic nu are rădăcini raționale.

Explicaţie:

#f (x) = x ^ 5-12x ^ 4 + 2x ^ 3-3x ^ 2 + 8x-12 #

Prin teorema rădăcinii raționale, orice zer de #f (x) # sunt exprimate în formă # P / q # pentru numere întregi #p, q # cu # P # un divizor al termenului constant #-12# și # Q # un divizor al coeficientului #1# a termenului de conducere.

Asta înseamnă că singura posibilă raţional zerourile sunt:

#+-1, +-2, +-3, +-4, +-6, +-12#

Rețineți că #f (-x) = -x ^ 5-12x ^ 4-2x ^ 3-3x ^ 2-8x-12 # are toți coeficienții negativi. prin urmare #f (x) # nu are nici un zer negativ.

Deci, singura posibilă raţional zerourile sunt:

#1, 2, 3, 4, 6, 12#

evaluarea #f (x) # pentru fiecare dintre aceste valori, vom constata că nici unul nu este zero. Asa de #f (x) # nu are nici o raţional zerouri.

În comun cu majoritatea chinticilor și polinomilor de grad mai înalt, zerourile nu sunt exprimabile în termeni de # N #rădăcini sau funcții elementare, inclusiv funcții trigonometrice.

Puteți utiliza metode numerice, cum ar fi Durand-Kerner, pentru a găsi aproximări:

# x_1 ~~ 11.8484 #

#x_ (2,3) ~~ -0,640414 + -0,877123i #

#x_ (4,5) ~~ 0,716229 + -0,587964i #