Cum ați determina ecuația cercului care trece prin punctele D (-5, -5), E (-5,15), F (15,15)?

Răspuns:

Înlocuiți fiecare punct cu ecuația cercului, dezvoltați 3 ecuații și extrageți cele care au cel puțin o coordonată comună (#X# sau # Y #).

Răspunsul este:

# (X-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Explicaţie:

Ecuația cercului:

# (X-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

Unde #α# #β# sunt coordonatele centrului cercului.

Membru supleant pentru fiecare punct dat:

Punctul D

#(-5-α)^2+(-5-β)^2=ρ^2#

#(-(5+α))^2+(-(5+β))^2=ρ^2#

#(5+α)^2+(5+β)^2=ρ^2#

#5^2+2*5α+α^2+5^2+2*5β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2+10α+10β+50=ρ^2# (Ecuația 1)

Punctul E

#(-5-α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#(5+α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#5^2+2*5α+α^2+15^2-2*15β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2# (Ecuația 2)

Punctul F

#(15-α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#15^2-2*15α+α^2+15^2-2*15β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2-30α-30β+450=ρ^2# (Ecuația 3)

Ecuațiile ecuații #(1)-(2)#

#α^2+β^2+10α+10β+50=ρ^2#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2#

#40β-200=0#

#β=200/40#

#β=5#

Ecuațiile ecuații #(2)-(3)#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2#

#α^2+β^2-30α-30β+450=ρ^2#

#40α-200=0#

#α=200/40#

#α=5#

Acum că #α# și #β# sunt cunoscute, înlocuiți-le în oricare dintre punctele (vom folosi punctul #D (-5, -5) #):

# (X-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

#(-5-5)^2+(-5-5)^2=ρ^2#

#(-10)^2+(-10)^2=ρ^2#

#2(-10)^2=ρ^2#

#ρ^2=200#

Deci, ecuația cercului devine:

#α=5#

#β=5#

#ρ^2=200#

# (X-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

# (X-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Răspuns:

Ecuația cercului este # (X-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Explicaţie:

Mai întâi trebuie să găsim ecuația a două linii, fiecare perpendiculară pe segmentele formate de o pereche de puncte date și trecând prin mijlocul acestor perechi de puncte.

Deoarece punctele D și E (# X_D = x_E = -5 #) sunt într-o linie paralelă cu axa-Y (# X = 0 #) și punctele E și F (# Y_E = y_F = 15 #) se află într-o linie paralelă cu axa-X (# Y = 0 #) este convenabil să alegeți aceste perechi de puncte.

Ecuația liniei DE, unde # X_D = x_E = -5 #

# x = -5 #

Ecuația liniei 1 perpendiculară pe DE și trecând prin punctul intermediar #M_ (DE) #

#M_ (DE) ((x_D + x_E) / 2, (y_D + y_E) / 2) # => #M_DE (-5, 5) #

linia 1# -> y = 5 #

Ecuația liniei EF, unde # Y_E = y_F = 15 #

# Y = 15 #

Ecuația liniei 2 perpendiculară pe EF și trecând prin punctul intermediar #M_ (EF) #

#M_ (EF) ((x_E + x_F) / 2, (y_E + y_F) / 2) # => #M_EF (5,15) #

randul 2# -> x = 5 #

Combinând ecuațiile liniilor 1 și 2 (# Y = 5 # și # X = 5 #) găsim centrul cercului, punctul C

#C (5,5) #

Distanța dintre punctul C și oricare dintre punctele date este egală cu raza cercului

# R = D_ (CD) = sqrt ((- 5-5) ^ 2 + (- 5-5) ^ 2) = sqrt (100 + 100) = sqrt (200) #

În formula ecuației cercului:

# (X-x_C) ^ 2 + (y-y_C) ^ 2 = R ^ 2 #

# (X-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #