Care este suma rădăcinilor ecuației 4 ^ x-3 (2 ^ (x + 3)) + 128 = 0?

Având în vedere ecuația

# 4 ^ x-3 (2 ^ (x + 3)) + 128 = 0 #

# => (2 ^ 2) ^ x-3 (2 ^ x * 2 ^ 3) + 128 = 0 #

# => (2 ^ x) ^ 2-3 (2 ^ x * 8) + 128 = 0 #

luare # 2 ^ x = y # ecuația devine

# => Y ^ 2-24y + 128 = 0 #

# => Y ^ 2-16y-8y + 128 = 0 #

# => Y (y-16) -8 (y-16) = 0 #

# => (Y-16) (y-8) = 0 #

Asa de # y = 8 și y = 16 #

cand # Y = 8 => 2 ^ x = 2 ^ 3 => x = 3 #

cand # Y = 16 => 2 ^ x = 2 ^ 4 => x = 4 #

De aici sunt rădăcinile # 3 și 4 #

Deci, suma rădăcinilor este #=3+4=7#

Răspuns:

#7#

Explicaţie:

Dacă #p (x) = (x-a) (x-b) = x ^ 2 (a + b) x + ab #

#X# coeficientul este suma rădăcinilor.

În # (2 ^ x) ^ 2-24 cdot 2 ^ x + 128 # avem asta

#24# este suma de # # R_1 și # # R_2 astfel încât

# (2 ^ x-r_1) (2 ^ x-r_2) = 0 #

De asemenea, avem # r_1r_2 = 2 ^ 7 = 2 ^ 3 2 ^ 4 # și

# r_1 + r_2 = 3 cdot 2 ^ 3 = 2 ^ 3 + 2 ^ 4 #

atunci

# R_1 = 2 ^ 3> x_1 = 3 # și

# R_2 = 2 ^ 4-> x_2 = 4 # asa de

# X_1 + x_2 = 7 #