Calculați suma_ (n = 0) ^ oo sqrt (n + 3) + sqrtn-2sqrt (n + 2)?

Răspuns:

Seria telescopică 1

Explicaţie:

#Sigma (sqrt (n + 2) - 2sqrt (n + 1) + sqrt (n)) #

#Sigma (sqrt (n + 2) - sqrt (n + 1) -sqrt (n + 1) + sqrt (n)

#Sigma ((sqrt (n + 2) - sqrt (n + 1)) (sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1)) / sqrt (n + 2) + sqrt) + (- sqrt (n + 1) + sqrt (n)) (sqrt (n + 1) + sqrt (n)) / sqrt (n +

#Sigma (1 / (sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1)) + (- 1) / sqrt (n +

Aceasta este o serie de colaps (telescopic).

Primul său termen este

# 1 / (sqrt (2) + 1) = 1-sqrt2 #.

Răspuns:

Vezi mai jos.

Explicaţie:

Aceasta este echivalentă cu

#sum_ (n = 3) ^ oo sqrtn + suma_ (n = 1) ^ oo sqrtn - 2 sum_ (n = 2) ^ oo sqrtn = 1-sqrt2 #

Arătați cotele 1 + 1 / sqrt2 + + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1), pentru n> 1?

Mai jos Pentru a arăta că inegalitatea este adevărată, folosiți inducția matematică 1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1) pentru n> 1 Pasul 1: 1 / sqrt2 RHS = sqrt2 (2-1) = sqrt2 Deoarece 1 + 1 / sqrt2> sqrt2, atunci LHS> RHS. Prin urmare, este adevarat pentru n = 2 Pasul 2: Presupunem ca este adevarat pentru n = k unde k este un intreg si k> 1 1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtk> = sqrt2 (k-1) --- (1) Pasul 3: Când n = k + 1, RTP: 1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1) (1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) RHS = sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + )) = = sqrt2- (sqrt2 (k-1) + 1 /

Lungimile laterale ale unui triunghi acut sunt sqrtn, sqrt (n + 1) și sqrt (n + 2). Cum găsești n?

Dacă triunghiul este un triunghi drept, atunci pătratul celei mai mari părți este egal cu suma pătratelor de laturi mai mici. Dar triunghiul este unul ascuțit. Pătratul celei mai mari părți este mai mic decât suma pătratelor de laturi mai mici. Prin urmare, (sqrt (n + 2)) ^ 2 <(sqrtn) ^ 2 + (sqrt (n + 1)) ^ 2 => n + 2 <n +