Vă rog, cineva să ajute la rezolvarea problemei?

Răspuns:

Încercați schimbarea # x = tan u #

Vezi mai jos

Explicaţie:

Noi stim aia # 1 + tan ^ 2 u = sec ^ 2u #

Prin schimbarea propusă avem

# dx = sec ^ 2u du #. Permite înlocuirea în integrale

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = intsec ^ 2u / (1 + tan ^ 2u) ^ 3/2 du = intsec ^ 2u / sec ^ 3udu = int1 / secudu = intcosudu = sinu + C #

Astfel, anularea schimbării:

# U = arctanx # și în cele din urmă avem

#sin u + C = sin (arctanx) + C #

Răspuns:

#color (albastru) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #

Explicaţie:

Să încercăm să folosim înlocuirea trigonometrică pentru rezolvarea acestui integral. Pentru a face acest lucru, vom construi un triunghi drept unghi #Delta ABC # și eticheta laturile în așa fel încât folosind formula lui Pythagoras putem extrage expresiile pe care le vedem în prezent în argumentul integralului după cum urmează:

Unghi # / _ B = theta # are partea opusă #X# și partea adiacentă #1#. Folosind formula lui Pythagoras:

# (BC) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (AC) ^ 2 # rezultate în:

# (BC) ^ 2 = 1 ^ 2 + x ^ 2 = 1 + x ^ 2 #

# BC = sqrt (1 + x ^ 2 # așa cum se arată.

Acum, să scriem cele trei funcții trigonometrice cele mai de bază pentru # # Teta:

# Sintheta = x / sqrt (1 + x ^ 2) #

# Costheta = 1 / sqrt (1 + x ^ 2) #

# Tantheta = x / 1 = x #

Acum trebuie să folosim aceste ecuații pentru a rezolva diferite părți ale argumentului integral în termeni trigonometrici. Să folosim # # Tantheta:

# Tantheta = x #

Să luăm derivate din ambele părți:

# sec ^ 2 theta d theta = dx #

De la # # Costheta ecuație, putem rezolva pentru #sqrt (1 + x ^ 2) #:

#sqrt (1 + x ^ 2) = 1 / costheta = sectheta #

Dacă ridicăm ambele părți ale acestei ecuații la puterea lui #3# primim:

# Sec ^ 3theta = (sqrt (1 + x ^ 2)) ^ 3 = ((1 + x ^ 2) ^ (1/2)) ^ 3 = (1 + x ^ 2) ^ (3/2) #

Acum, putem substitui ceea ce am calculat în problema integrală pentru ao transforma într-un integral trigonometric:

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = int (sec ^ 2thetadtheta) / sec ^ 3theta = intsec ^ 2theta / (secthetasec ^ 2theta) d theta = intcancelcolor / secthetacancelcolor (roșu) (sec ^ 2theta)) d theta = int1 / secthetad theta = int1 / (1 / costheta) d theta = intcosthetad theta = sintheta +

Acum, putem înlocui înapoi # # Sintheta și întoarceți răspunsul nostru într-o expresie algebrică în termeni de #X#:

#color (albastru) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #